资源简介

【培优版】湘教版数学八下2.2简单图形的坐标表示 同步练习
一、选择题
1．（北师大版数学八年级下册6.2平行四边形的判定同步练习）若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024八下·黄陂期中） 四边形具有不稳定性，在如图所示平面直角坐标系中，矩形的边固定在轴上，．推动矩形得到平行四边形，点的对应点恰好落在轴上．若，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·武侯期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022八下·北仑期中）已知点D与点 A（8，0） ，B（0，6），C（ a ， -a ）是一个平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为（　　）
A．8 B． C． D．6
5．（2024八下·泉州月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点P的横坐标为（　　）
A．1.5 B．2 C．3 D．1
6．（2023八下·栾城期中）在平面直角坐标系中，长方形的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，6．若点A在第一象限，则点C的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023八下·仙桃期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．或
8．（2024八下·芙蓉期末）如图，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上运动，且，连接，下列结论：①；②若与的交点恰好是的中点，则四边形是正方形；③四边形的面积为定值；④．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题
9．（2025八下·宝坻期末）如图，在直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(0，8)和(6，0)，将一根橡皮筋两端固定在A、B两点处，然后用手勾住橡皮筋向右上方拉升，使橡皮筋与坐标轴围成一个矩形AOBC，则橡皮筋被拉长了　 　个单位长度．
10．（2023八下·海淀月考）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（3，2），则对角线AC＝　 　．
11．（2024八下·旌阳期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（7，0），C（0，4），点D的坐标为（5，0），点P在BC边上运动. 当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为　 　.
12．（2024八下·衢州期末） 在平面直角坐标系中， 四边形 的四个顶点坐标依次是 ， ， 则四边形 的形状一定为　 　。
13．（2024八下·海淀期中）如图，在直角坐标系中，点，，，则　 　度．
14．（2021八下·铁西期中）在平面直角坐标系中，点，，若以A、B、O、C为顶点的四边形为平行四边形，则所有符合条件的点C的坐标有　 　个．
三、解答题
15．（2024八下·百色期末）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长为1个单位长度，正方形和正方形的顶点均在格点上.
（1）建立平面直角坐标系，使得B，C的坐标分别为，，并写出点A的坐标；
（2）求出正方形和正方形的边长.
16．（2025八下·渌口月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是x轴上的一个动点．
（1）当是以为腰的等腰三角形时，求点C的坐标；
（2）当点C在x轴上运动时，是否存在一点C，使得的值最小？若存在，求出此时点C的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由．
17．（2024八下·大冶期中）如图，在直角坐标系中，点E为线段AB上一动点，点C为y轴上的一动点．
（1）如图（1），若，过点E作于点M，连接CM，设，，判断四边形BCME的形状，请证明你的结论．
（2）如图（2），过点E作交OA于点D，点F在线段AO上，设，，且点．
①若四边形CEFD为平行四边形，用含t的式子表示点C的坐标．
②若四边形CEFD为菱形，求t的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
【分析】令点A为（-0.5，4），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
2．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，，，
∴AB=DC=6，BC=AD=4，OA=2.
∵ 推动矩形得到平行四边形，
∴AB=D'C'=6，AD'=BC'=AD=4.
∴.
∴点D'的坐标为
∴点C'的坐标为 .
故答案为：B
【分析】根据矩形和平行四边形的性质求得D'C'的长，A'D'的长，利用勾股定理求得点D'的纵坐标，即可得到点C'的坐标.
3．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
分三种情况：
①当，时，点的坐标为；
②当，时，点的坐标为；
③当，时，点的坐标为.
故答案为：A．
【分析】分三种情况：①AB∥CD，AD∥BC时，②AB∥CD，AC∥BD时，③AD∥BC，AC∥BD时，分别根据点的坐标与图形性质可得点D的坐标，从而即可逐一判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①当CD为平行四边形的一条边时，如图所示，
∴CD=AB==10；
②当CD为平行四边形的对角线时，连接AB、CD交于点G，如图所示，
∵平行四边形ADBC，A（8，0） ，B（0，6）
∴G（，），即G（4，3），
又∵C（ a ，-a ），
∴CD=2CG=2=2=2，
∴当a=时，CD的值最小，CDmin=2=7.
∵7＜10，
∴CD长的最小值为7.
故答案为：B.
【分析】由题意，需要分两种情况：①当CD为平行四边形的一条边时，②当CD为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形性质及两点间距离公式、完全平方式的性质求出CD的长，再进行大小比较，即可确定CD长的最小值.
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；三角形三边关系；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图1，以为边作等边，连接，
由题意 ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当N，A，B三点共线时，最大，即最大，
如图2，过P作轴，垂足为T，
∵是等边三角形，，
∴，
∵点A的坐标为，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点P的横坐标为1.5．
当P在x轴下方时，同上可求点P的横坐标为1.5．
故答案为：A．
【分析】以为边作等边，连接，然后证明得，从而可判断当N，A，B三点共线时，最大，即最大，然后利用等边三角形的性质解答即可．
6．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】如图可知，点C位于第三象限，
当AB=4时，BC=6，
点C的坐标为：（-3，-2）；
当AB=6时，BC=4，
点C的坐标为：（-2，-3）.
故选：C
【分析】根据题意画出图形，根据邻边的长度进行讨论即可。
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：①过点D作DT⊥AC，则∠T=90°，
∵，，，，
∴AB=BD=DT=AT=12，
∴四边形ABDT是正方形，
当点E与A重合时， ，
∴E（8，0），
②当点E在线段AB上时，过点D作DH⊥EC，
∵，∠DBE=90°，
∴DH=DB=12，∠BDE=∠HDE，
∴BE=EH，
∵，，
∴CD==，CH==4，
设BE=EH=x，则CE=4+x，AE=12-x，
在Rt△ACE中，AC=8，
∴（12-x）+82=（4+x）2，
解得：x=6，
∴OE=6-4=2，
∴E（2，0）
综上可得：E 或；
故答案为：D.
【分析】分两种情况：①过点D作DT⊥AC，证四边形ABDT是正方形，当点E与A重合时， ，据此求解即可；②当点E在线段AB上时，过点D作DH⊥EC，由角平分线的性质可得DH=DB=12，BE=EH，由两点间的距离公式及勾股定理求出CD、CH的长，设BE=EH=x，则CE=4+x，AE=12-x，在Rt△ACE中，利用勾股定理建立关于x方程并解之，继而得解.
8．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过作轴于，轴于，与交于点，则，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，故①正确；
∵与的交点恰好是的中点，
∴，
在中，是斜边的中线，
∴，
在中，是斜边的中线，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，故②正确；
∵，
∴四边形的面积四边形的面积的面积
四边形的面积的面积，
正方形的面积，
，
，
∴四边形的面积为定值，故③正确；
∵与的交点恰好是的中点时，四边形是正方形，
∴，故④错误；
∴正确的结论有①②③，
故选：．
【分析】
因为，可过作轴于，轴于，与交于点，则，即可判定四边形是正方形，则，可由同角的余角相等得，则利用“ASA”可证，则，即可判断①；
若OP与AB互相平分，可得四边形是矩形，由可知矩形是正方形，即可判断②；
由于，则，由割补法求图形面积可得，即可判断③；
由②知，当OP与AB互相平分时，，即可判断④．
9．【答案】4
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵A、B两点的坐标分别为(0，8)和(6，0)，
∴OA＝8，OB＝6，
∴，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=6，CB=OA8，
∵AC+BC-AB=6+8-10=4，
∴橡皮筋被拉长了4个单位长度，
故答案为：4．
【分析】由A、B两点的坐标得出OA、OB的长，然后根据勾股定理算出AB，进而根据矩形对边相等可得AC+BC=OB+OA，然后用AC+BC-AB即可得出答案.
10．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，BO，
∵点B的坐标为（3，2），
∴OB＝＝，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AC＝BO＝，
故答案为：.
【分析】连接AC，BO，根据矩形的性质可得，根据点B的坐标为（3，2），求得，即可求解.
11．【答案】(2，4)或（3，4）
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵A（7，0），C（0，4），
∴AB=OC=4 OA=7，
∵D的坐标为（5，0），
∴OD=5，
∴AD=2，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠A=90°，
∴ＢＤ＝＝2＜5＝ＯＤ，
∴分三种情况： OD=PD或OD=OP或者OP=PD，
①当OD=PD时，p（2，4）或P（8，4）（舍去）
②当OD=OP时，PC=
=
=3.
故此时点P的坐标为（3，4）.
③当OP=PD时，P(，4)（舍去）.
故答案为：（2，4）或（3，4）．
【分析】由题意，用勾股定理求出BD的值，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，由题意可分三种情况：① OD=PD，②OD=OP，③OP=PD，再根据勾股定理即可求出点Ｐ到ｙ轴的距离，从而求出点Ｐ的坐标.
12．【答案】矩形
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：根据题意，因为A、D两点横坐标相等，B、C两点横坐标相等，
所以，AD∥y轴，BC∥y轴，
∴AD∥BC，
同理，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
因为AD∥y轴，CD∥x轴，
∴CD⊥AD，
∴四边形ABCD是矩形.
故答案为：矩形.
【分析】根据坐标可得推得AD∥BC，CD∥AB，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，结合有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求解.
13．【答案】45
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：45．
【分析】连接，分别求出，，得到，继而判定是等腰直角三角形，即可得解．
14．【答案】3
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
若以A、B、O、C为顶点的四边形为平行四边形，可分三种情况：
设点C的坐标为（m，n），
若以OB为对角线，得到
，
∵，
∴OB的中点为
，即AC1的中点为
，
∵，
∴ ，解得：
，
∴C1（3，2）；
若以AB为对角线，得到
，则AB的中点即为OC2的中点，
∵点
，
，
∴ ，解得：
，
∴C2（-1，4）；
若以AO为对角线，得到
，则AO的中点即为BC2的中点，
∵点
，
，
∴ ，解得：
，
∴点C3（-3，-2），
综上所述，若以A、B、O、C为顶点的四边形为平行四边形，则所有符合条件的点C的坐标有（3，2）或（-1，4）或（-3，-2），共3个．
故答案为：3．
【分析】若以A、B、O、C为顶点的四边形为平行四边形，可分三种情况：①以OB为对角线，②以AB为对角线，③以AO为对角线，根据平行四边形的性质及中点坐标公式分别求解即可.
15．【答案】（1）解：平面直角坐标系如图所示：
由图可知：点A的坐标为.
（2）解：
∴正方形和正方形的边长分别为和.
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）根据B、C两点的坐标可建立适合的平面直角坐标系，根据点A所在的位置可求解；
（2）根据（1）中点A的坐标和C、D两点的坐标并用勾股定理可求得AB、CD的值.
16．【答案】（1）解：∵点，，∴，
∴，
如图，以点Ａ为圆心，以为半径画弧，交x轴于点C，
此时，，
∴，
∵点C在x轴的负半轴，
∴；
以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，与x轴交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
综上所述，符合题意的点C为或或
（2）解：存在
根据点，，故，
∵，
∴当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可．
故，此时，
故时，的值最小，且最小值为5
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用点A、B的坐标可求出OA、OB的长，利用勾股定理求出AB的长；分别以点Ａ为圆心，以为半径画弧，以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，二弧与ｘ轴的交点就是所求，根据等腰三角形的性质，坐标与线段的关系解答即可；
（2）利用点A、B的坐标可求出OA、OB的长，利用勾股定理求出AB的长；结合，得当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可．
（1）解：∵点，，
∴，
∴，
如图，以点Ａ为圆心，以为半径画弧，交x轴于点C，
此时，，
∴，
∵点C在x轴的负半轴，
∴；
以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，与x轴交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
综上所述，符合题意的点C为或或．
（2）解：根据点，，
故，
∵，
∴当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可．
故，此时，
故时，的值最小，且最小值为5．
17．【答案】（1）解：四边形BCME为平行四边形，理由如下：
∵EM⊥OA
∴∠AME=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AME=∠AOB，
∴ME//OB，
∵AE=2t，∠BAO=30°，∠AME=90°，
∴EM=AE=t，
∵BC=t，
∴EM=BC，
∴四边形BCME为平行四边形.
（2）解：
①∵，，，∴，
∵，
∴，解得：，
根据题意得：轴，∴，
∴，
∴四边形OCEG为矩形，
∴．∴．
②∵四边形CEFD为菱形：，
∵，，∴，
∵在直角三角形AED中，，
∴，∴，
∵，∴，∴．
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】(1)借助垂直的意义证明∠AME=∠AOB，根据平行线的判定可得ME//OB，利用含有30度角的直角三角形的性质可用t表示出EM，从而可说明EM=BC，四边形BCME满足“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得结论成立；
（2） ① 先用t表示出AD，再根据三角形ADE的两种不同算法，得到关于EG的方程，可用t表示出EG，再说明四边形OCEG是矩形，从而可t表示出OC，就可用t表示出点C的坐标；
②借助菱形的性质，用t表示出DG，再用t表示出EF，OD，根据OD+AD=8，得到关于t的方程求解.
1 / 1【培优版】湘教版数学八下2.2简单图形的坐标表示 同步练习
一、选择题
1．（北师大版数学八年级下册6.2平行四边形的判定同步练习）若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
【分析】令点A为（-0.5，4），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
2．（2024八下·黄陂期中） 四边形具有不稳定性，在如图所示平面直角坐标系中，矩形的边固定在轴上，．推动矩形得到平行四边形，点的对应点恰好落在轴上．若，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，，，
∴AB=DC=6，BC=AD=4，OA=2.
∵ 推动矩形得到平行四边形，
∴AB=D'C'=6，AD'=BC'=AD=4.
∴.
∴点D'的坐标为
∴点C'的坐标为 .
故答案为：B
【分析】根据矩形和平行四边形的性质求得D'C'的长，A'D'的长，利用勾股定理求得点D'的纵坐标，即可得到点C'的坐标.
3．（2024八下·武侯期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
分三种情况：
①当，时，点的坐标为；
②当，时，点的坐标为；
③当，时，点的坐标为.
故答案为：A．
【分析】分三种情况：①AB∥CD，AD∥BC时，②AB∥CD，AC∥BD时，③AD∥BC，AC∥BD时，分别根据点的坐标与图形性质可得点D的坐标，从而即可逐一判断得出答案.
4．（2022八下·北仑期中）已知点D与点 A（8，0） ，B（0，6），C（ a ， -a ）是一个平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为（　　）
A．8 B． C． D．6
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①当CD为平行四边形的一条边时，如图所示，
∴CD=AB==10；
②当CD为平行四边形的对角线时，连接AB、CD交于点G，如图所示，
∵平行四边形ADBC，A（8，0） ，B（0，6）
∴G（，），即G（4，3），
又∵C（ a ，-a ），
∴CD=2CG=2=2=2，
∴当a=时，CD的值最小，CDmin=2=7.
∵7＜10，
∴CD长的最小值为7.
故答案为：B.
【分析】由题意，需要分两种情况：①当CD为平行四边形的一条边时，②当CD为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形性质及两点间距离公式、完全平方式的性质求出CD的长，再进行大小比较，即可确定CD长的最小值.
5．（2024八下·泉州月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点P的横坐标为（　　）
A．1.5 B．2 C．3 D．1
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；三角形三边关系；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图1，以为边作等边，连接，
由题意 ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当N，A，B三点共线时，最大，即最大，
如图2，过P作轴，垂足为T，
∵是等边三角形，，
∴，
∵点A的坐标为，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点P的横坐标为1.5．
当P在x轴下方时，同上可求点P的横坐标为1.5．
故答案为：A．
【分析】以为边作等边，连接，然后证明得，从而可判断当N，A，B三点共线时，最大，即最大，然后利用等边三角形的性质解答即可．
6．（2023八下·栾城期中）在平面直角坐标系中，长方形的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，6．若点A在第一象限，则点C的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】如图可知，点C位于第三象限，
当AB=4时，BC=6，
点C的坐标为：（-3，-2）；
当AB=6时，BC=4，
点C的坐标为：（-2，-3）.
故选：C
【分析】根据题意画出图形，根据邻边的长度进行讨论即可。
7．（2023八下·仙桃期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：①过点D作DT⊥AC，则∠T=90°，
∵，，，，
∴AB=BD=DT=AT=12，
∴四边形ABDT是正方形，
当点E与A重合时， ，
∴E（8，0），
②当点E在线段AB上时，过点D作DH⊥EC，
∵，∠DBE=90°，
∴DH=DB=12，∠BDE=∠HDE，
∴BE=EH，
∵，，
∴CD==，CH==4，
设BE=EH=x，则CE=4+x，AE=12-x，
在Rt△ACE中，AC=8，
∴（12-x）+82=（4+x）2，
解得：x=6，
∴OE=6-4=2，
∴E（2，0）
综上可得：E 或；
故答案为：D.
【分析】分两种情况：①过点D作DT⊥AC，证四边形ABDT是正方形，当点E与A重合时， ，据此求解即可；②当点E在线段AB上时，过点D作DH⊥EC，由角平分线的性质可得DH=DB=12，BE=EH，由两点间的距离公式及勾股定理求出CD、CH的长，设BE=EH=x，则CE=4+x，AE=12-x，在Rt△ACE中，利用勾股定理建立关于x方程并解之，继而得解.
8．（2024八下·芙蓉期末）如图，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上运动，且，连接，下列结论：①；②若与的交点恰好是的中点，则四边形是正方形；③四边形的面积为定值；④．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过作轴于，轴于，与交于点，则，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，故①正确；
∵与的交点恰好是的中点，
∴，
在中，是斜边的中线，
∴，
在中，是斜边的中线，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，故②正确；
∵，
∴四边形的面积四边形的面积的面积
四边形的面积的面积，
正方形的面积，
，
，
∴四边形的面积为定值，故③正确；
∵与的交点恰好是的中点时，四边形是正方形，
∴，故④错误；
∴正确的结论有①②③，
故选：．
【分析】
因为，可过作轴于，轴于，与交于点，则，即可判定四边形是正方形，则，可由同角的余角相等得，则利用“ASA”可证，则，即可判断①；
若OP与AB互相平分，可得四边形是矩形，由可知矩形是正方形，即可判断②；
由于，则，由割补法求图形面积可得，即可判断③；
由②知，当OP与AB互相平分时，，即可判断④．
二、填空题
9．（2025八下·宝坻期末）如图，在直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(0，8)和(6，0)，将一根橡皮筋两端固定在A、B两点处，然后用手勾住橡皮筋向右上方拉升，使橡皮筋与坐标轴围成一个矩形AOBC，则橡皮筋被拉长了　 　个单位长度．
【答案】4
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵A、B两点的坐标分别为(0，8)和(6，0)，
∴OA＝8，OB＝6，
∴，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=6，CB=OA8，
∵AC+BC-AB=6+8-10=4，
∴橡皮筋被拉长了4个单位长度，
故答案为：4．
【分析】由A、B两点的坐标得出OA、OB的长，然后根据勾股定理算出AB，进而根据矩形对边相等可得AC+BC=OB+OA，然后用AC+BC-AB即可得出答案.
10．（2023八下·海淀月考）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（3，2），则对角线AC＝　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，BO，
∵点B的坐标为（3，2），
∴OB＝＝，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AC＝BO＝，
故答案为：.
【分析】连接AC，BO，根据矩形的性质可得，根据点B的坐标为（3，2），求得，即可求解.
11．（2024八下·旌阳期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（7，0），C（0，4），点D的坐标为（5，0），点P在BC边上运动. 当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为　 　.
【答案】(2，4)或（3，4）
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵A（7，0），C（0，4），
∴AB=OC=4 OA=7，
∵D的坐标为（5，0），
∴OD=5，
∴AD=2，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠A=90°，
∴ＢＤ＝＝2＜5＝ＯＤ，
∴分三种情况： OD=PD或OD=OP或者OP=PD，
①当OD=PD时，p（2，4）或P（8，4）（舍去）
②当OD=OP时，PC=
=
=3.
故此时点P的坐标为（3，4）.
③当OP=PD时，P(，4)（舍去）.
故答案为：（2，4）或（3，4）．
【分析】由题意，用勾股定理求出BD的值，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，由题意可分三种情况：① OD=PD，②OD=OP，③OP=PD，再根据勾股定理即可求出点Ｐ到ｙ轴的距离，从而求出点Ｐ的坐标.
12．（2024八下·衢州期末） 在平面直角坐标系中， 四边形 的四个顶点坐标依次是 ， ， 则四边形 的形状一定为　 　。
【答案】矩形
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：根据题意，因为A、D两点横坐标相等，B、C两点横坐标相等，
所以，AD∥y轴，BC∥y轴，
∴AD∥BC，
同理，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
因为AD∥y轴，CD∥x轴，
∴CD⊥AD，
∴四边形ABCD是矩形.
故答案为：矩形.
【分析】根据坐标可得推得AD∥BC，CD∥AB，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，结合有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求解.
13．（2024八下·海淀期中）如图，在直角坐标系中，点，，，则　 　度．
【答案】45
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：45．
【分析】连接，分别求出，，得到，继而判定是等腰直角三角形，即可得解．
14．（2021八下·铁西期中）在平面直角坐标系中，点，，若以A、B、O、C为顶点的四边形为平行四边形，则所有符合条件的点C的坐标有　 　个．
【答案】3
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
若以A、B、O、C为顶点的四边形为平行四边形，可分三种情况：
设点C的坐标为（m，n），
若以OB为对角线，得到
，
∵，
∴OB的中点为
，即AC1的中点为
，
∵，
∴ ，解得：
，
∴C1（3，2）；
若以AB为对角线，得到
，则AB的中点即为OC2的中点，
∵点
，
，
∴ ，解得：
，
∴C2（-1，4）；
若以AO为对角线，得到
，则AO的中点即为BC2的中点，
∵点
，
，
∴ ，解得：
，
∴点C3（-3，-2），
综上所述，若以A、B、O、C为顶点的四边形为平行四边形，则所有符合条件的点C的坐标有（3，2）或（-1，4）或（-3，-2），共3个．
故答案为：3．
【分析】若以A、B、O、C为顶点的四边形为平行四边形，可分三种情况：①以OB为对角线，②以AB为对角线，③以AO为对角线，根据平行四边形的性质及中点坐标公式分别求解即可.
三、解答题
15．（2024八下·百色期末）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长为1个单位长度，正方形和正方形的顶点均在格点上.
（1）建立平面直角坐标系，使得B，C的坐标分别为，，并写出点A的坐标；
（2）求出正方形和正方形的边长.
【答案】（1）解：平面直角坐标系如图所示：
由图可知：点A的坐标为.
（2）解：
∴正方形和正方形的边长分别为和.
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）根据B、C两点的坐标可建立适合的平面直角坐标系，根据点A所在的位置可求解；
（2）根据（1）中点A的坐标和C、D两点的坐标并用勾股定理可求得AB、CD的值.
16．（2025八下·渌口月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是x轴上的一个动点．
（1）当是以为腰的等腰三角形时，求点C的坐标；
（2）当点C在x轴上运动时，是否存在一点C，使得的值最小？若存在，求出此时点C的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点，，∴，
∴，
如图，以点Ａ为圆心，以为半径画弧，交x轴于点C，
此时，，
∴，
∵点C在x轴的负半轴，
∴；
以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，与x轴交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
综上所述，符合题意的点C为或或
（2）解：存在
根据点，，故，
∵，
∴当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可．
故，此时，
故时，的值最小，且最小值为5
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用点A、B的坐标可求出OA、OB的长，利用勾股定理求出AB的长；分别以点Ａ为圆心，以为半径画弧，以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，二弧与ｘ轴的交点就是所求，根据等腰三角形的性质，坐标与线段的关系解答即可；
（2）利用点A、B的坐标可求出OA、OB的长，利用勾股定理求出AB的长；结合，得当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可．
（1）解：∵点，，
∴，
∴，
如图，以点Ａ为圆心，以为半径画弧，交x轴于点C，
此时，，
∴，
∵点C在x轴的负半轴，
∴；
以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，与x轴交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
综上所述，符合题意的点C为或或．
（2）解：根据点，，
故，
∵，
∴当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可．
故，此时，
故时，的值最小，且最小值为5．
17．（2024八下·大冶期中）如图，在直角坐标系中，点E为线段AB上一动点，点C为y轴上的一动点．
（1）如图（1），若，过点E作于点M，连接CM，设，，判断四边形BCME的形状，请证明你的结论．
（2）如图（2），过点E作交OA于点D，点F在线段AO上，设，，且点．
①若四边形CEFD为平行四边形，用含t的式子表示点C的坐标．
②若四边形CEFD为菱形，求t的值．
【答案】（1）解：四边形BCME为平行四边形，理由如下：
∵EM⊥OA
∴∠AME=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AME=∠AOB，
∴ME//OB，
∵AE=2t，∠BAO=30°，∠AME=90°，
∴EM=AE=t，
∵BC=t，
∴EM=BC，
∴四边形BCME为平行四边形.
（2）解：
①∵，，，∴，
∵，
∴，解得：，
根据题意得：轴，∴，
∴，
∴四边形OCEG为矩形，
∴．∴．
②∵四边形CEFD为菱形：，
∵，，∴，
∵在直角三角形AED中，，
∴，∴，
∵，∴，∴．
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】(1)借助垂直的意义证明∠AME=∠AOB，根据平行线的判定可得ME//OB，利用含有30度角的直角三角形的性质可用t表示出EM，从而可说明EM=BC，四边形BCME满足“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得结论成立；
（2） ① 先用t表示出AD，再根据三角形ADE的两种不同算法，得到关于EG的方程，可用t表示出EG，再说明四边形OCEG是矩形，从而可t表示出OC，就可用t表示出点C的坐标；
②借助菱形的性质，用t表示出DG，再用t表示出EF，OD，根据OD+AD=8，得到关于t的方程求解.
1 / 1

展开更多......

收起↑