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2025年安徽省宣城市宁国中学自主招生数学试卷
一、选择题：共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（4分）已知方程（x2+3x）2+4（x2+3x）﹣45＝0，则该方程所有的实数根之和为（　　）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．0
2．（4分）从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为m，n，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）已知3m＝6，3n＝a，2n＝b，且ab＝27，则mn的值为（　　）
A．30 B．27 C． D．3
4．（4分）在如图所示的平面内，△ABC中∠ACB＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿CD和DE折叠，点B和点A重合于点F．若AB＝40，AE＝7，则tan∠EDF的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）对于自变量为x的函数，我们把使函数值y等于零的实数x叫做函数的零点．如果函数在a≤x≤b上的图象是一条连续不断的曲线，并且在x＝a和x＝b时的函数值乘积为非正值，则该函数在a≤x≤b范围内至少有一个零点，那么对于函数y＝2x+2x2﹣4x﹣5在下列范围内一定有零点的是（　　）
A．﹣2≤x≤﹣1 B．﹣1≤x≤0 C．0≤x≤1 D．1≤x≤2
6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，点E在射线BD上运动，EF与边AB所在直线交于点F，且∠FEC＝90°，连接FC．当AB＝6，AC＝10时，①△ABD∽△EDC；②∠A＝∠ECF；③当EF＝EB时，则∠EFC+2∠CFB＝90°；④当EF＝EB时，则△BCF的面积为．则以上说法正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
7．（5分）因式分解：x3﹣2x2y﹣7xy2﹣4y3＝　 　 ．
8．（5分）如图，已知⊙O的半径为4，一条直线AB经过圆心O，另一条直线AC与⊙O分别交于点C和点D，∠A＝25°，∠ABD＝10°，则弦CD的弦心距等于　 　 ．
9．（5分）如图，已知一次函数y＝x+6的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点A和点B，过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点D和点C．当四边形ABCD的面积为12时，则k＝　 　 ．
10．（5分）已知一列数a1，a2，a3，a4，a5， ，an（其中n为正整数），其中，，，，，…，则a6＝　 　 ，an＝　 　 （用含n的表达式表示）．
三、解答题：共5题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．
11．（15分）（1）现有十名学生参加数学素质测试，测试成绩分别为83，85，86，86，87，89，90，93，95，96，请计算这组数据的方差；
（2）先化简代数式：，再求值，其中，．
12．（15分）在平面直角坐标系中，点A、B、C、D、E的坐标分别为（﹣7，1），（1，1），（1，7），（7，﹣1），（﹣1，﹣7）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺将线段DE分为五等分；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）请在图2中用无刻度的直尺画出△ABC的内切圆的圆心P；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）点Q为⊙P上一动点，求△QED面积的最大值．
13．（15分）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC＝90°，过点A的直线与CD、CB的延长线分别交于点E和点F，EO的延长线平分BC并交BC于点H，∠AEO＝∠ADB，，，四边形ABCD的面积为．
（1）求∠EAO的值；
（2）求线段BC的长；
（3）如图2，连接FO，求证：AD∥FO．
14．（15分）已知矩形ABCD中，AB＝6．
（1）如图1，若AD＝AB且点E、F分别为AD、AB的中点，BE与CF交于点P，求CP的长；
（2）如图2，若AD＝AB+2，点E为AD的中点，以点E为圆心，AE为半径作圆，点I为AE的中点，延长BI交⊙E于点M，求的值；
（3）如图3，若AD＝AB+2，点P在BC上且BP＝2，T为AD上任意一点，点N在四边形ABCD内，且∠TBP＝∠TPN＝∠PCN，连接AN，求AN的最小值．
15．（16分）如图1，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象分别与x轴、y轴交于A、B、C三点．
（1）如图2，若点P为抛物线上位于第一象限的一点，且，求点P的坐标；
（2）若抛物线上有两动点F、G，且直线FG与x轴正方向夹角的正切值为2，直线BF、BG分别与y轴交于D、E两点，证明：C为DE的中点；
（3）如图3，若Q为抛物线上一动点，且QD⊥BC，QE∥y轴，点N在x轴上，四边形CENM为平行四边形，求当DE最大时，CM+CN的最小值．
2025年安徽省宣城市宁国中学自主招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．解：设y＝x2+3x，则y2+4y﹣45＝0．
∴判别式Δ＝b2﹣4ac＝16+180＝196，
∴，即y1＝5，y2＝﹣9．∴x2+3x＝5或x2+3x＝﹣9．
对于x2+3x＝﹣9，即x2+3x+9＝0，判别式9﹣36＝﹣27＜0，无实数根．
对于x2+3x＝5，即x2+3x﹣5＝0，有实数根，根之和为．∴所有实数根之和为﹣3．故选：A．
2．解：∵不等式组，简化得x＜3+m和x＞n﹣1，
∴解集为n﹣1＜x＜3+m，整数解个数为（3+m）﹣（n﹣1）﹣1＝m﹣n+3，
令m﹣n+3＝2，得m﹣n＝﹣1，从1，2，3，4中选两个不同的数作为m和n，
1 2 3 4
1 （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3）
总情况数4×3＝12，满足m﹣n＝﹣1的（m，n）对为（1，2）、（2，3）、（3，4），共3种，
∴概率，故选：C．
3．解：根据题意可知，ab＝3n×2n＝（3×2）n＝6n＝（3m）n＝3mn＝27，∵27＝33，∴3mn＝33，∴mn＝3．
故选：D．
4．解：如图，
由折叠知∠3＝∠BDC，∠EDF＝∠EDA，而∠BDC+∠3+∠EDF+∠EDA＝180°，
∴∠3+∠EDF＝90°，即∠EDC＝90°．
又由折叠知∠B＝∠2，∠A＝∠1，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，即∠CFE＝90°，
∴∠EDF＝∠4，
∴，
由折叠知BC＝CF，AE＝EF，
故设CE＝x，
CE2﹣EF2＝CF2，CF2＝CB2＝AB2﹣AC2，
∵AB＝40，AE＝7，
∴CE2﹣EF2＝CF2＝CB2＝AB2﹣AC2，
∴x2﹣72＝402﹣（x+7）2，
解得x1＝25，x2＝﹣32（舍）．
∴CE＝25，CF＝24，
∴．
故选：A．
5．解：根据条件只需验证各选项区间端点函数值乘积是否非正，
A选项，x＝﹣2时，，
x＝﹣1 时，，
在x＝﹣2和x＝﹣1时的函数值乘积为正值，不符合题意；
B选项，x＝﹣1时，y＝1.5，
x＝0时，y＝20+2×02﹣4×0﹣5＝1﹣5＝﹣4，
在x＝﹣1和x＝0时的函数值乘积为非正值，符合题意；
C选项，x＝0时，y＝﹣4，
x＝1时，y＝﹣5，
在x＝0和x＝1时的函数值乘积为正值，不符合题意；
D选项，x＝1时，y＝﹣5，
x＝2 时，y＝22+2×22﹣4×2﹣5＝4+8﹣8﹣5＝﹣1，
在x＝1和x＝2时的函数值乘积为正值，不符合题意．
故选：B．
6．解：∵∠ABC＝90°，∠FEC＝90°，
∴∠ABC＝∠FEC，
∴四边形BCEF为圆内接四边形，
∴∠ECF＝∠ABD，
∵D是Rt△ABC斜边AC中点，
∴AD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠A＝∠ABD，即∠A＝∠ECF，故②正确；
∵△ABD和△EDC只有一对对顶角相等，故①错误；
当EF＝EB时，由四边形BCEF为圆内接四边形，
∴∠1＝∠2，
∵EF＝EB，过E作EH⊥FB，
由∠ABC＝90°，
∴HE∥BC，
∴∠2＝∠3，
∵D点是Rt△ABC斜边AC中点，
∴BD＝CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠2＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF，
∴∠EFC+∠CFB＝∠EBF，
而∠EFC＝∠2，∠EBF+∠2＝90°，
∴∠EFC+∠CFB+∠2＝90°，2∠EFC+∠CFB＝90°，故③错误；
∵AB＝6，AC＝10，
∴BC8，
∵∠1＝∠4，∠FEC＝∠ABC，
∴△ECF∽△BAC，
∵AB：BC：AC＝6：8：10＝3：4：5，
∴CE：EF：FC＝3：4：5，
故设CE＝3k，EF＝4k，FC＝5k，则EB＝4k，
∵∠3＝∠4，
∴，
∴，
∴．
在Rt△FBC中，根据勾股定理得，解得，
，故④正确．
故选：C．
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
7．解：x3﹣2x2y﹣7xy2﹣4y3
＝（x3+y3）﹣（2x2y+7xy2+5y3）
＝（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣y（2x2+7xy+5y2）
＝（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣y（x+y）（2x+5y）
＝（x+y）（x2﹣3xy﹣4y2）
＝（x+y）（x+y）（x﹣4y）
＝（x+y）2（x﹣4y）．
8．解：如图，连接OD，OC，过O作OH⊥CD，
∵∠A＝25°，∠ABD＝10°，
∴∠CDB＝∠A+∠ABD＝35°，
∵OB＝OC＝OD，
∴∠ODB＝∠ABD＝10°，
∴∠CDO＝∠CDB+∠ODB＝35°+10°＝45°，
∴∠DCO＝∠CDO＝45°
∴△ODC为等腰Rt△，
∵CO＝DO＝4，
∴，
∴．
故答案为：．
9．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴k＝x1y1＝x2y2，y1＝x1+6，y2＝x2+6．
由条件可得．
∴y2x1﹣x2y2+x1y1﹣y1x2＝24，
∴y2x1﹣y1x2＝24，
∴（x2+6）x1﹣（x1+6）x2＝24，
∴x2x1+6x1﹣x1x2﹣6x2＝24，化简整理得x1﹣x2＝4，
又联立方程组得，
∴x2+6x﹣k＝0，
∴x1和x2是方程x2+6x﹣k＝0的两根．
由条件可知x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣k，
∴，
即，
∴36+4k＝16，
解得k＝﹣5．
故答案为：﹣5．
10．解：已知一列数a1，a2，a3，a4，a5， ，an（其中n为正整数），
∵，
∴，
，
，
，
∴，
∴．
故答案为：，．
三、解答题：共5题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．
11．解：（1）把原数据均减去85得：﹣2，0，1，1，2，4，5，8，10，11，
∴，
∴；
（2）原式
，
∵，
，
代入x、y，原式．
12．解：（1）如图1，H1，H2，H3，H4是线段DE的五等分点；
（2）△ABC的内切圆的圆心P，如图2即为所求；
（3）由图3根据网格的特点可得AC∥ED，且AC与ED两平行线间距离为10，
∴点Q为AC与⊙P的切点，
由图3根据勾股定理可得，
即△QED的面积的最大值为．
13．（1）解：∵EO的延长线平分BC，
∴BH＝CH，
∴OH⊥BC，即∠CHO＝90°，
∵，
∴∠ADB＝∠ACB，
∵∠AEO＝∠ADB，
∴∠AEO＝∠ACB，
在△AEO和△HCO中，
∠AOE＝∠HOC，
∴∠EAO＝∠CHO＝90°．
（2）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ADC中，
根据勾股定理得：AB2+BC2＝AD2+CD2＝AC2，
∵，
故设，CD＝2k（k≠0），BC＝x（x＞0），
∴，化简整理得：12+x2＝7k2，①
∵，
∴，即7k2＝90﹣7x，②
∴把②代入①得x2+7x﹣78＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣13（舍），
即BC的长为6．
（3）证明：由（2）得BC＝6，
又∵，
∴，
∴∠ACB＝30°，
∴，
∴，
又由（1）得∠EAO＝90°，
∴EF是⊙O的切线，
∴FA⊥AC，即∠FAC＝90°，
所以，
∴，
又∵，
∴即，
在Rt△FAO和Rt△CDA中，
∵，∠FAO＝∠ADC＝90°，
∴Rt△FAO∽Rt△CDA，
∴∠AOF＝∠DAC，
∴AD∥FO．
14．解：（1）解法一：由题意可知AD＝AB＝6，，
∴四边形ABCD为正方形，
又∵E为AD中点，F为AB中点，
∴∠ABE＝∠BCP，
又∵∠ABE+∠AEB＝90°且∠ABE+∠CBP＝90°，
∴∠AEB＝∠CBP，
∴∠BCP+∠CBP＝90°，
故∠CPB＝90°
∴CF⊥BE，
∴∠FPB＝∠A＝90°，∠FBP＝∠EBA
∴△AEB∽△PFB，
∴，
故，
∴；
解法二：∵矩形ABCD是正方形，AD＝AB，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∵点E、F分别为AD、AB的中点，
∴，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠ABE＝∠BCF，
又∵∠ABE+∠PBC＝90°，
∴∠BCF+∠PBC＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∵AB＝6，BF＝3，
∴，
∴；
（2）如图2，过点M作MH⊥AE，
∵∠MHI＝∠BAI＝90°，∠MIH＝∠AIB，
∴△MIH∽△BIA，
∴，则，
设HI＝x（x＞0）则MH＝3x，
在Rt△MHE中，由勾股定理得：HE2+MH2＝ME2，即（2﹣x）2+（3x）2＝42，
解得：，（不合题意，舍去），
∴；
（3）如图3，过P作PQ⊥BT，作NG⊥NC，
∵，
∴BT PQ＝12，①
∵∠TBP＝∠TPN＝∠PCN，
∴∠BPT+∠NPC＝180°﹣∠TPN，
又∵∠CNP+∠NPC＝180°﹣∠PCN，
∴∠BPT＝∠CNP，
∴△BPT∽△CNP，
∴，
∴BP PC＝BT CN＝12，②
由①、②得：PQ＝CN，
∵∠TBP＝∠PCN，
∴90°﹣∠TBP＝90°﹣∠PCN，即∠QPB＝∠NCG，
在△BQP和△GNC中，
，
∴△BQP≌△GNC（ASA），
∴CG＝BP＝2，
取点O为CG中点，连接NO，
∴，则，
∴OD＝CD﹣OC＝6﹣1＝5，
由题意可知，当N在以O为圆心、半径1的圆上，且在AO上时，AN最小，
∴．
15．（1）解：二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象分别与x轴、y轴交于A、B、C三点，
当y＝0时，得：﹣x2+2x+3＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3；
当x＝0时，得：y＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
如图2.1，延长BP并过C作CH⊥BC交BP于点H，过H作HH′⊥y轴，
∴∠CH＝45°，
由题意知，
又∵，
∴，
∴，
∴H的坐标为，
设直线BH的解析式为yBH＝kx+b，将点B，点H的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴，
联立得：，
解得：x1＝3，，
∴或（3，0）（不合题意，舍去），
∴综上所述，P点坐标为；
（2）证明：由题意可知kFG＝2，如图2.2，
设yFG＝2x+t，yBG＝k1x+b1（k1≠0），yBF＝k2x+b2（k2≠0），
F（xF，yF），G（xG，yG），B（xB，yB），
联立得：，
整理得：x2+t﹣3＝0；
∴，联立得：，
整理得：x2+（k1﹣2）x+b1﹣3＝0，∴，联立得：，
整理得：x2+（k2﹣2）x+b2﹣3＝0，
∴，
当x＝0时，得：yBG＝b1，yBF＝b2，
∴E（0，b1），D（0，b2），又∵C（0，3），
∴EC＝b1﹣3＝xB xG，DC＝3﹣b2＝﹣xB xF，
又∵xBxG+xBxF＝xB（xF+xG）＝0，
∴xB xG＝﹣xB xF，∴线段EC＝DC，故C为DE的中点；
（3）解：∵B（3，0），C（0，3）且QE∥y轴，
∴∠BCO＝∠DEQ＝45°，∴，
由题意可知：yBC＝﹣x+3．∴设Q（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），
∴，
∴，∴当时，DE的取值最大，此时E点坐标为，
如图3，四边形CENM为平行四边形，作E关于x轴对称点E′，连接EE′、NE′、CE′，则，NE＝NE′，
∴CM+CN＝CN+NE＝CN+NE′，∴．

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