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2025-2026学年江苏省扬州市邗江区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）2026的倒数是（　　）
A．2026 B． C． D．﹣2026
2．（3分）如图，天平从左到右的变化情况，与下列式子的变形意义相同的是（　　）
A．若a＝2b，则a+c＝2b+c B．若a＝2b，则a﹣c＝2b﹣c
C．若a＝2b，则ac＝2bc D．若a+c＝2b+c，则a＝2b
3．（3分）“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着．”，朱自清把雨比作“牛毛”“花针”和“细丝”，形象地说明了（　　）
A．两点确定一条直线 B．面动成体
C．线动成面 D．点动成线
4．（3分）若a，b为有理数，且|a﹣2|+（b+2）2＝0，则的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2026 D．2026
5．（3分）如图是一个程序图，若输入的x＝4，则输出的结果是（　　）
A．﹣7 B．7 C．15 D．20
6．（3分）2026年春节即将到来，八年一班同学准备制作中国结装饰教室．若每名同学制作7个中国结，总数比原计划多了20个；若每名同学制作5个中国结，总数比原计划少了60个．设八年一班有x名同学，则可列方程为（　　）
A．7x﹣20＝5x+60 B．7x+20＝5x﹣60
C． D．
7．（3分）一副三角板如图摆放，∠E＝∠C＝90°，∠DAE＝45°，∠BAC＝30°，则∠CAE﹣∠BAD＝（　　）
A．8° B．10° C．15° D．20°
8．（3分）在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文．现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的26个小写字母依次对应1，2，3．．．．，26这26个自然数，见以下表格：
现给出一个公式：，将明文字母对应的数字A按以上公式计算得到密文字母对应的数字A′，比如明文字母为e，，所以明文字母e对应的密文字母为c．若密文是dhho，则对应的明文是（　　）
A．well B．good C．best D．oqqh
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）中国科学院力学研究所研发的一款高超音速无人飞行器速度最高可达7马赫，即每小时飞行距离可达8570000米，数据8570000用科学记数法表示为　 　 ．
10．（3分）∠α＝68°，则∠α的补角为　 　 °．
11．（3分）若单项式﹣3x2ym与6xny4是同类项，则m﹣n的值是　 　 ．
12．（3分）已知|a|＝5，|b|＝2，且ab＜0，a+b＞0，则a﹣b＝　 　 ．
13．（3分）已知关于x的方程3（x+m）＝m﹣1与方程3x﹣2＝1的解互为相反数，则m＝　 　 ．
14．（3分）如图，AB∥CD，直线AB与射线DE相交于点O，若∠D＝55°，则∠BOE＝　 　 ．
15．（3分）如图，数轴上的点A、B对应的数分别为a、b，且AB＝5，则代数式2a﹣2b+1的值是　 　 ．
16．（3分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3＝　 　 ．
17．（3分）定义运算“*”对于任意有理数a与b，满足，例如：4*1＝3×4﹣1＝11，．若有理数x满足x*3＝9，则x的值为　 　 ．
18．（3分）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝12，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若2AP+3OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝　 　 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）解方程：
（1）2（2x+1）＝1﹣5（x﹣2）；
（2）．
21．（10分）先化简，再求值：2（a2+2b2）﹣（3a2﹣5b2），其中．
22．（10分）如图，已知点A，B，C，D，请按要求画出图形．
（1）画直线AB和射线CB；
（2）连接BD，请用尺规作图，在线段BC上找一点E，使得CE＝BC﹣BD；（要求保留作图痕迹）
（3）在直线AB上确定一点P，使得该点与C，D的距离之和最短，画出点P并写出此画图的依据是　 　 ．
23．（10分）如图B，C两点把线段AD分成三部分，AB：BC：CD＝3：8：5，M为AD的中点．
（1）判断线段AB与CM的大小关系，说明理由；
（2）若CM＝9，求BM的长．
24．（10分）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2．
（1）请判断FG与AE的位置关系，并说明理由；
（2）若BC平分∠ABD，FG⊥BC，∠D＝110°，求∠A的度数．
25．（10分）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进吉祥物“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶一共100个，其中一个“喜洋洋”玩偶进价40元，一个“乐融融”玩偶进价42元，总共花费4080元．
（1）求购进“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶各多少个？
（2）“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶标价分别为48元/个、52元/个，销售过程中，“喜洋洋”玩偶全部按标价售完，“乐融融”玩偶售出一部分后进行促销，剩余的九折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是828元，求“乐融融”玩偶打折前卖出多少个？
26．（10分）【动手操作】
在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE＝BF），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
（1）按照图2的方式裁剪，若原长方形卡纸AD长为30cm，求出原卡纸宽AB的长度？
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是　 　 ．
【拓展延伸】
（3）若有盖长方体的长、宽、高分别为8，5，4，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为　 　 ．
27．（10分）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题．
【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果：　 　 ；
【类比计算】（2）计算：；
【类比推理】（3）我们知道：；；；…
①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为：12+22+32+ +n2＝　 　 ．
②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：62+82+102+122+ +222．
28．（10分）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中OC与直线MN重合，∠AOM＝∠COD＝30°，∠AOB＝45°．（1）在上述所拼图形中，∠BOD的度数为　 　 °．
【问题探究】
（2）在上述所拼图形基础上，让三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点O以每秒5°的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线MN的上方．设三角板AOB的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当∠BOC＝2∠BOD时，旋转时间t的值；
【拓展延伸】
（3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺AOB绕着点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺COD也绕着点O以每秒1°的速度按逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线MN的上方，且当三角尺AOB停止旋转时，三角尺COD也停止旋转．设三角尺AOB的旋转时间为ts．在旋转过程中，当AB与三角尺COD的某一边平行时，请直接写出t的值．
2025-2026学年江苏省扬州市邗江区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．解：2026的倒数是．
故选：C．
2．解：根据题意，设立方块为a，小球为b，圆柱体为c，
由左图可知：a＝2b，
由右图可知：a+c＝2b+c，
故选项A说法正确，符合题意．
故选：A．
3．解：“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着．”
∵雨滴可视为点，下落过程中连续移动形成的轨迹像线，
∴形象地说明了“点动成线”的原理．
故选：D．
4．解：∵|a﹣2|+（b+2）2＝0，
∴a﹣2＝0，b+2＝0，
∴a＝2，b＝﹣2，
∴1．
故选：B．
5．解：由程序图可知，当x＝4时，4×（﹣2）+1＝﹣8+1＝﹣7＜10，
当x＝﹣7时，﹣7×（﹣2）+1＝14+1＝15＞10，输出．
故选：C．
6．解：根据题意得：7x﹣20＝5x+60，
故选：A．
7．解：由图可知，
∠CAE﹣∠BAD
＝∠DAE﹣∠CAD﹣（∠BAC﹣∠CAD），
＝∠DAE﹣∠BAC，
∵∠DAE＝45°，∠BAC＝30°，
∴∠DAE﹣∠BAC＝15°，
∴∠CAE﹣∠BAD＝15°，
故选：C．
8．解：根据题意可知，：，
∵密文字母为d，对应的数字是4，
∴，
解得A＝7，其对应的明文字母是g；
∵密文字母为h，对应的数字是8，
∴，
解得A＝15，其对应的明文字母是o；
∵密文字母为o，对应的数字是15，
∴，
解得A＝4，其对应的明文字母是d，
∴对应的明文是good．
故选：B．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．解：8570000＝8.57×106．
故答案为：8.57×106．
10．解：∠α的补角为＝180°﹣68°＝112°，
故答案为：112．
11．解：由同类项的定义可知n＝2，m＝4，
∴m﹣n＝4﹣2＝2．
故答案为：2．
12．解：∵|a|＝5，|b|＝2，
∴a＝±5，b＝±2
∵ab＜0，
∴a，b符号相反，
∵a+b＞0，
∴a＞0，b＜0，
∴a＝5，b＝﹣2，
∴a﹣b＝5﹣（﹣2）＝5+2＝7，
故答案为：7．
13．解：解方程3x﹣2＝1，得x＝1；
∵关于x的方程3（x+m）＝m﹣1与方程3x﹣2＝1的解互为相反数，
∴方程3（x+m）＝m﹣1的解为x＝﹣1，
将x＝﹣1代入方程3（x+m）＝m﹣1，
得3（﹣1+m）＝m﹣1，
3m﹣3＝m﹣1，
3m﹣m＝﹣1+3，
2m＝2，
解得：m＝1．
故答案为：1．
14．解：∵∠D＝55°，AB∥CD，
∴∠BOD＝∠D＝55°（两直线平行，内错角相等），
∴∠BOE＝180°﹣∠BOD＝125°；
故答案为：125°．
15．解：观察数轴可知：b＞a，
∵AB＝5，
∴b﹣a＝5，
∴a﹣b＝﹣5，
∴2a﹣2b+1
＝2（a﹣b）+1
＝2×（﹣5）+1
＝﹣10+1
＝﹣9，
故答案为：﹣9．
16．解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠4+∠5＝180°，
根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．
故答案为：180°．
17．解：①当x≥3时，x*3＝3x﹣3＝9，
解得：x＝4，符合x≥3；
②当x＜3时，x*3＝x﹣9＝9，
解得：x＝18，但x＝18不满足x＜3，故舍去；
因此，x的值为4．
故答案为：4．
18．解：∵OA＝2OB，AB＝12，
∴，
∴点B表示的数是4，AB＝12，
设经过t秒，则OP＝4+4t，BP＝4t﹣t＝3t，AP＝|5t﹣4t﹣12|＝|t﹣12|，
若t≤12时，
2AP+3OP﹣mBP＝2（12﹣t）+3（4+4t）﹣3mt＝24﹣2t+12+12t﹣3mt＝（10﹣3m）t+36，
当10﹣3m＝0时，即时，2AP+3OP﹣mBP的值不随着t的变化而变化；
若t＞12时，
2AP+3OP﹣mBP＝2（t﹣12）+3（4+4t）﹣3mt＝2t﹣24+12+12t﹣3mt＝（14﹣3m）t﹣12，
当14﹣3m＝0时，即时，2AP+3OP﹣mBP的值不随着t的变化而变化．
所以若2AP+3OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解：（1）原式
＝2×（﹣5）+8﹣3×2
＝﹣10+8﹣6
＝﹣8；
（2）原式
＝16+10﹣21
＝5．
20．解：（1）2（2x+1）＝1﹣5（x﹣2），
4x+2＝1﹣5x+10，
4x+5x＝1+10﹣2，
9x＝9，
解得：x＝1；
（2），
3（y+2）﹣2（2y﹣1）＝4，
3y+6﹣4y+2＝4，
3y﹣4y＝4﹣6﹣2，
﹣y＝﹣4，
解得：y＝4．
21．解：原式＝2a2+4b2﹣3a2+5b2＝﹣a2+9b2，
当时，
﹣a2+9b2．
22．解：（1）根据直线和射线的定义作图，如图所示，直线AB和射线CB即为所求；
（2）以点B为圆心，以BD长为半径画弧，与线段BC的交点即为点E，如图所示，点E即为所求；
（3）如图所示，点P即为所求；
作图依据为：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
23．解：（1）AB＝CM，理由如下：
∵AB：BC：CD＝3：8：5，
∴设BC＝8x，CD＝5x，AB＝3x，
∴AD＝AB+BC+CD＝16x，
∵M为AD的中点，
∴，
∴MC＝MD﹣CD＝8x﹣5x＝3x，BM＝AM﹣AB＝8x﹣3x＝5x，
∴AB＝AM﹣BM＝8x﹣5x＝3x，
∴AB＝CM；
（2）由（1）可知，CM＝3x＝9，
解得：x＝3，
则BM＝BC﹣CM＝5x＝15．
24．解：（1）FG∥AE，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠FGC（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠FGC，
∴FG∥AE（同位角相等，两直线平行）；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°．
∵∠D＝110°，
∴∠ABD＝180°﹣110°＝70°．
∵BC平分∠ABD，
∴．
∵FG⊥BC，
∴∠1＝55°．
∵FG∥AE，
∴∠1＝∠A＝55°．
25．解：（1）设购进“喜洋洋”x个，
根据题意，得 40x+42（100﹣x）＝4080，
40x+4200﹣42x＝4080，
解得：x＝60，
则100﹣60＝40，
答：购进“喜洋洋”60个，则购进“乐融融”40个；
（2）设“乐融融”玩偶打折前卖出m个，
根据题意，得（48﹣40）×60+（52﹣42）m+（40﹣m）（52×0.9﹣42）＝828，
解得m＝30，
答：“乐融融”玩偶打折前卖出30个．
26．解：（1）如图所示，
可得GH＝AE+BF，且AE＝BF，
∴GH＝2AE．
∵四边形EFKJ是正方形，且AG＝EJ，
∴EF＝EJ＝AG．
∵AD＝2AG+2GH＝2EF+4AE＝30cm，
∴EF+2AE＝15cm，
即AB＝15cm；
（2）根据几何体的展开图可知，“祥”和“意”在对应面上，“吉”和“如”在对应面上，且对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，可知只有选项C符合题意．
故答案为：C；
（3）如图所示，
周长为8×8+5×4+4×2＝64+20+8＝92．
所以长方体表面展开图的最大外围周长为92．
故答案为：92．
27．解：（1）由题知：，， ，
所以，，
故答案为：；
（2）原式
；
（3）①因为；；；…
所以，，
故答案为：；
②原式＝22+42+62+82+102+ +222﹣22﹣42
＝4×（12+22+32+42+ +112）﹣20
＝2004．
28．解：（1）∵OC与直线MN重合，
∴∠MON＝180°，
∵∠AOM＝30°，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠COD＝180°﹣30°﹣45°﹣30°＝75°
故答案为：75；
（2）三角板AOB以每秒5°的速度顺时针旋转t秒后，
∠AOM＝30°+5°t，∠BOM＝∠AOM+∠AOB＝30°+5°t+45°＝75°+5°t，
∠BOC＝180°﹣∠BOM＝180°﹣（75°+5°t）＝105°﹣5°t，
∠BOD＝|∠BOC﹣∠COD|＝|105°﹣5°t﹣30°|＝|75°﹣5°t|；
∵∠BOC＝2∠BOD，
∴当75°﹣5°t＜0（t＞15）时，105﹣5t＝2（5t﹣75），
解得t＝17，
当75°﹣5°t≥0（t≤15）时，105﹣5t＝2（75﹣5t），
解得t＝9；
综上，t的值为9或17；
（3）∵三角板AOB顺时针旋转5t，三角板COD逆时针旋转t，
∴∠AOM＝30°+5°t，∠CON＝t°，
当AB∥OD时，
∵∠BOD＝∠ABO＝45°，∠AOD＝180°﹣（30°+5°t）﹣（30°+t°）＝120°﹣6°t，
又∵∠AOD＝∠A＝90°，
∴120﹣6t＝90，
解得：t＝5；
当AB∥CD时，则∠COD＝180°﹣∠DOM﹣∠CON，
∴180﹣（30+5t）﹣t＝30，
解得t＝20，
当AB∥OC时，则∠AOC+∠BAO＝180°，
∴∠AOC＝90°，
∵∠BOA＝∠ABO＝45°，
∴180﹣（30+5t）﹣t＝90，
解得：t＝10；
综上，t的值为5，10或20．

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