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张家界市 2026 届高三二模考前预测卷 数学试题
本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷非正式考试，仅为二模考前模拟试卷。
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的)
1. 已知集合 整数 ，则
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则 的共轭复数 . 拔的虚部为
A. B. C. D.
3. 设 ， ， ，则
A. B. C. D.
4. 将函数 的图像向右平移 个单位长度后,所得图像关于 轴对称,则 的最小正值为
A. B. C. D.
5. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 36 B. 45 C. 54 D. 63
6. 一个圆台形水桶，其上下底面的半径分别为 10cm 和 20cm，母线长为 26cm，则该水桶的容积(忽略桶壁厚度)为
A. B. C. D.
7. 已知抛物线 的焦点为 ,过 的直线 与 交于 两点,若 ,则
A. B. 2
c. D. 3
8. 已知函数 ,若当 时, 恒成立,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选 对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 某中学高一年级 100 名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有
A. 成绩落在 区间的频率为 0.3
B. 这 100 名学生成绩的中位数为 75
C. 这 100 名学生成绩的平均数为 76
D. 成绩低于 60 分的学生人数为 10 人
10. 已知函数 ,下列关于该函数的说法正确的有
A. 的最小正周期为
B. 的图像关于直线 对称
C. 在区间 上单调递增
D. 的图像可由 的图像向左平移 个单位得到
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， ， 分别为 的中点，下列说法正确的有
A. 直线 平面
B. 直线EF⊥平面
C. 异面直线 与 所成角的余弦值为
D. 三棱锥 C-EFB 的体积为
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 已知向量 ， ，若 ，则 _____.
13. 已知 的展开式中，常数项为_____.
14. 已知点 是椭圆 上的动点，点 是直线 上的动点，则 的最小值为_____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (14 分) 在 中，内角 的对边分别为 ，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
16. (15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 为矩形，PA⊥平面 ，PA=AB=2，BC=3，E为AD的中点.
(1)证明:平面 PBE⊥平面 PAB；
(2)求直线 PC 与平面 PBE 所成角的正弦值.
17.(16 分)某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了 100 辆该车型，在相同条件下进行续航测试, 得到续航里程 (单位: ) 的频率分布表如下:
续航里程区间 [400, 450) [450, 500) [500, 550) [550, 600) [600, 650]
频率 0.05 0.2 0.45 0.25 0.05
(1)求这 100 辆该车型续航里程的平均数 x 拔和方差 (同一区间的数据用该区间的中点值作代表)；
(2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 拔， 近似为样本方差 .
(i) 求 ;
(ii) 某用户购买了该车型,求其续航里程不低于 478.1 km 的概率.
参考数据: ,若 ,则 .
18. (16 分)已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线 与椭圆 交于 两点，点 在 轴上，是否存在定点 ，使得 恒成立？若存在,求出点 的坐标; 若不存在,请说明理由.
19. (16 分) 已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案及详细评分细则
一、单项选择题(每小题 5 分，共 40 分)
1.B 2. A 3. B 4. C 5. C 6. C 7. A 8. A
二、多项选择题(每小题 6 分，共 18 分，全对 6 分，部分对 3 分，错选 0 分)
9.ACD 10. ABC 11. AC
三、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
12.-7 13.240
14.
四、解答题评分细则
15. 本题满分 14 分
(1)由正弦定理得:(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC 2 分
整理得:2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)
在 中， ，故 4 分
又 , ,故 ,即
又 ,故 7 分
(2)由三角形面积公式:
代入 ，得 be ，解得 10 分
由余弦定理:
代入 ，得
代入 ，得 ，故 12 分
因此 的周长为 14 分
16. 本题满分 15 分
(1)证明: 平面 ， 平面 ， 2 分
底面 为矩形, 为 中点,
,即 ,又 4 分
平面 平面 6 分
又 平面 平面 平面 7 分
(2)以 为原点，分别以 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系
则 9 分
向量 ，向量 ，向量
设平面 的法向量为
则 ,即 11 分
令 ,解得 ,故 12 分
设直线 PC 与平面 PBE 所成角为
则 13 分
代入得:向量
故 15 分
17. 本题满分 16 分
(1) 各组中点值分别为425,475,525,575,625
平均数 拔 4 分
方差 分
(2) (i) 由题意, ,故
因此 12 分
(ii) 16 分
18. 本题满分 16 分
(1)由离心率 ，得 ，又 ，故 2 分椭圆过点 ，代入得 ，解得 5 分
故椭圆 C 的标准方程为 6 分
(2)由(1)得右焦点 ，假设存在定点 满足条件
①当直线 1 斜率不为 0 时，设直线 1 的方程为
联立 和 ,整理得 8 分
10 分
由 ,得 ,即
代入 ，得
整理得 12 分
代 和 ,得
化简得 ,即 对任意 恒成立,故 14 分
②当直线 1 斜率为 0 时，A，B 为椭圆的左右顶点，即 ， ，此时 ，满足条件综上,存在定点 ,使得 恒成立 16 分
19. 本题满分 16 分
(1)函数 的定义域为 2 分
①当 时， 恒成立，故 在 上单调递增 4 分
② 当 时，令 ，得
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减 6 分
综上,当 时, 在 上单调递增; 当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减 7 分
(2)当 时, 恒成立,即 对 恒成立
整理得 对 恒成立 9 分
令 ,则
求导得 11 分
化简得
当 时， ，故 ，即 对 恒成立 13 分
故 在 上单调递减，因此 15 分
故实数 的取值范围是 16 分

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