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第10章 分式
10.3 分式的加减
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思路一
问题1：关于分式，我们学习了哪些内容？
问题2：分数的加减运算有哪些法则?
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思路二
问题1：学校要修一段路，甲工程队单独修，x天能修完；乙工程队单独修，x＋1天能修完.如果两个工程队合作，那么一天能修这段路的几分之几？
解 由“工作效率＝工作量÷工作时间”，得
甲工程队一天修这段路的1x，乙工程队一天修这段路的1x＋1；
所以两个工程队合作，一天能修这段路的1x＋1x＋1.
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问题2：1x＋1x＋1这个式子怎么算？和我们之前学过的分数加法一样吗？
分母是字母且分母不同，不能直接相加减；需要先统一分母.
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活动一：同分母分式加减的深入探究
问题1：15＋25＝35，25－15＝15.
观察上面的式子，类比同分母分数的加减，想一想下面的式子应该怎么计算？
(1) 1a＋2a；
(2) 3a＋4a＋1＋a－1a＋1.
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解 1a＋2a?＝1＋2a＝3a.?
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解 3a＋4a＋1＋a－1a＋1＝3a＋4＋a－1a＋1＝4a－1a＋1.
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问题2：同分母的分式应该如何相加减?
同分母分式加减运算的法则：
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
上述法则可用符号表示为：ba±ca＝b±ca.
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活动二：异分母分式加减的深入探究
问题1：在计算15＋13，12－13之前，需要先做什么？
异分母分数在计算之前要先通分，将异分母分数化为同分母分数，再加减.
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问题2：
计算：(1) 2x－5x2；(2)3a－1b.
解 (1) x与x2的最简公分母是x2，
2x－5x2＝2xx2－5x2＝2x－5x2.
(2) a与b的最简公分母是ab，
3a－1b＝3bab－aab＝3b－aab.
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最简公分母是各分母系数的最小公倍数与所有字母(或因式)的最高次幂的积.
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问题3：请思考：ba＋dc＝ .
a与c的最简公分母是ac，
ba＝bcac，dc＝adac；
ba＋dc＝bcac＋adac＝ad＋adac.
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ad＋adac
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异分母分式加减运算的法则：
异分母的分式相加减，先通分，再加减.
上述法则可用符号表示为ba±dc＝bcac±adac＝ad±adac.
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在分式的加减中，涉及同分母分式加减运算的法则和异分母分式加减运算的法则，核心逻辑是“分式的基本性质(通分、约分)”与“分数加减的类比迁移”.
同分母分式相加减，只需保持分式的分母不变，对分式的分子进行加减运算，最后约分(若需要)；
异分母分式相加减，需先通分(找最简公分母，将异分母分式化为同分母分式)，再按照同分母分式加减运算的法则进行计算.
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例 1 计算：(1) 5a＋4a； (2) 2a－3a＋1?－a－2a＋1.
解 (1) 5a＋4a＝5＋4a= 9a.
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(2) 2a－3a＋1?－a－2a＋1＝(2a－3)－(a－2)a＋1＝2a－3－a＋2a＋1＝a－1a＋1.
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活动三：知识迁移与运用
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例 2 计算：(1) 2x－5x2；(2) a＋1a－1－a－1a＋1.
解 (1) 2x－5x2?
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＝2???xx???x－5x2
＝2xx2－5x2
＝2x－5x2.
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(2) a＋1a－1－a－1a＋1＝(a＋1)(a＋1)(a＋1)(a－1)－(a－1(a－1)(a＋1)(a－1)
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＝(a＋1)2－(a－1)2(a＋1)(a－1)
＝(a2＋2a－1)－(a2＋2a－1)(a＋1)(a－1)
＝ 4a(a＋1)(a－1)
＝ 4aa2－1.
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例 3 计算：(1) p＋npm－n； (2) xx2－4－12－x.
解 (1) p＋npm－n＝p1＋npm－n
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＝p(m－n)m－n＋npm－n
＝p(m－n)＋npm－n
＝pmm－n.
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(2) xx2－4－12－x
＝x(x＋2)(x－2)＋12－x
＝x(x＋2)(x－2)＋x＋2(x＋2)(x－2)
＝x＋x＋2(x＋2)(x－2)
＝2x＋2x2－4.
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通常，分式相加减所得的结果应化为最简分式或整式.
异分母分式相加减的一般步骤：
(1)通分：将异分母分式转化为同分母分式；
(2)加减：写成分母不变、分子相加减的形式；
(3)合并：若分子有括号，则先去括号，再合并同类项；
(4)约分：分子、分母同时约分，将结果化成最简分式或整式.
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例 4 已知a＞b＞0，试比较1a与1b的大小.
解 1a－1b＝bab－aab＝b－aab.
因为a＞b＞0，
所以b－a＜0，ab＞0.
所以b－aab＜0.
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因为1a－1b＝b－aab，
所以1a－1b＜0.
所以1a＜1b.
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课堂评价
B
1
课堂评价
②
漏掉了分母
课堂评价
课堂总结
1.通过本节课的学习，你学到了哪些内容？
2.学习了本节课，你有何感想？请畅所欲言.
3.在学习了分式的加减运算以后，还要学习关于它的哪些知识和技能？
作业设计
基础性作业：教材练习第1～3题；教材习题第1题.
提高性作业：教材习题第2～4题.
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