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(共35张PPT)
第25讲　图形的相似
第七单元
2026
内容索引
01
考点·梳理整合
02
考题·自测体验
03
考法·分类全析
04
考点·巩固迁移
考点·梳理整合
考点一 比例线段及其性质
1.成比例线段的概念:四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.
2.比例的性质:
(1)比例的基本性质:如果,那么ad=　　　.如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么.
(2)等比性质:若=…=(b+d+…+n≠0),则=　　　　.
bc　
　
3.黄金分割:
如图7-25-1,点C把线段AB分成AC和BC(AC>BC)两部分,若AC2=BC·　　　,则把点C叫做线段AB的黄金分割点.其中比值≈0.618叫做黄金比.
图7-25-1
4.平行线分线段成比例定理:
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.
AB
考点二 相似三角形
1.相似三角形的定义:三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
2.相似三角形的性质:
(1)相似三角形的对应角　　　　　,对应边　　　　　　;
(2)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于　　　　;
(3)相似三角形的周长比等于　　　　;
(4)相似三角形的面积比等于　 　　　.
相等
成比例
相似比
相似比
相似比的平方
3.相似三角形的判定:
(1)两个角分别　　　　　的两个三角形相似;
(2)两边成比例且夹角　　　　　的两个三角形相似;
(3)三边成比例的两个三角形相似;
(4)两个直角三角形,如果有斜边及一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似;
(5)平行于三角形一边的直线截其他两边或其延长线所得的三角形与原三角形相似.
相等
相等
考点三 相似多边形
1.相似多边形的定义:各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
2.相似多边形的性质:
(1)相似多边形的对应角相等,对应边　　　　;
(2)相似多边形的对应对角线的比等于相似比;
(3)相似多边形的周长比等于　　　　;
(4)相似多边形的面积比等于　　　　　　.
3.相似多边形的判定:
根据定义,两个边数相同的多边形,如果对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形相似.
成比例
相似比
相似比的平方
考点四 图形的位似
1.位似的定义:一般地,如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P'所在的直线都经过同一点O,且有OP'=k·OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形,点O叫做　　　　　.
2.位似图形的画法:
(1)找到位似中心;(2)连接原图形上各点与位似中心,并延长(扩大)或取分点(缩小)作出其对应点;(3)依次连接各对应点即可.
位似中心
考题·自测体验
1.(2022广西梧州)如图,以点O为位似中心,作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D',已知,若四边形ABCD的面积是2,则四边形A'B'C'D'的面积是(　　).
A.4
B.6
C.16
D.18
D
2.(2020广东深圳)如图,已知四边形ABCD,AC与BD相交于点O, ∠ABC=∠DAC=90°,tan ∠ACB=,则=　　　　　.
3.(2023广东)如图,边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一条直线上,则图中阴影部分的面积为　　　　.
15
4.(2024广东广州)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE=3, EC=6,CF=2.求证:△ABE∽△ECF.
证明:∵BE=3,EC=6,CF=2,
∴BC=3+6=9.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=9,∠B=∠C=90°.
∵,
∴,∴△ABE∽△ECF.
考法·分类全析
考法1相似三角形的判定和性质的应用
相似三角形的性质为我们解决有关线段的比、多边形的周长比、面积比等问题提供了方法和依据.
例1如图7-25-2,D是△ABC的边BC上一点,已知AB=4,AD=2,∠DAC=∠B.若△ABD的面积为a,则△ACD的面积为(　　).
图7-25-2
A.a B.a C.a D.a
解析:∵∠DAC=∠B,∠C=∠C,
∴△ACD∽△BCA.
∵AB=4,AD=2,∴S△ACD∶S△ABC=1∶4,
∴S△ACD∶S△ABD=1∶3.
由△ABD的面积为a,可得△ACD的面积为a,故选C.
答案:C
易错警示 解题时要注意:相似三角形的面积比等于相似比的平方.很多同学因认为面积比等于相似比而导致错误.
例2如图7-25-3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D.若BD∶CD=3∶2,则tan B=　　　　.
解析:在Rt△ABC中,∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠CDA.
∵∠B+∠BAD=90°,∠BAD+∠DAC=90°,
∴∠B=∠DAC,∴△ABD∽△CAD,∴.
∵BD∶CD=3∶2,∴可设BD=3x,CD=2x,
∴AD=x,∴tan B=.
答案:
图7-25-3
方法点拨 要求锐角三角函数值,需要找到该锐角所在的直角三角形,根据锐角三角函数的定义,求相关边的比值.根据本题的已知条件,可以找到相似三角形,又已知线段的比,故考虑先判定三角形相似,再进行计算.
考法2相似三角形的性质在实际问题中的应用
根据实际问题背景建立相似三角形模型,是解决实际问题的关键.
例3如图7-25-4,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网4 m的位置上,则球拍的击球高度h为　　　　.
图7-25-4
解析:如图,∵DE∥BC,
∠A=∠A,∠DEA=∠CBA,
∴△ADE∽△ACB,
∴,∴,∴h=1.5(m).
答案:1.5 m
方法点拨 把实际问题抽象成几何问题是解题的关键.此例中球拍到地面的垂线与球网构成了平行线,这样就得到了相似三角形,进而利用相似三角形的性质列式求解.
考法3图形的位似
位似是特殊的相似,因此位似的性质的应用与相似是相同的.位似作图问题通常在网格中进行,需要准确找到位似中心和相似比,并要分清两个图形与位似中心的关系.
例4如图7-25-5,△ABC的顶点坐标分别为A(1,3),B(4,2),C(2,1).
图7-25-5
(1)作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出A1,B1,C1的坐标;
(2)以原点O为位似中心,在原点的另一侧画出△A2B2C2,使.
解:(1)如图,A1(1,-3),B1(4,-2),C1(2,-1).
(2)如图.
方法点拨 网格具有可操作性和直观性等特点.
考点·巩固迁移
1.如图,在△ABC中,D,F是AB边上的点,E是AC边上的点,DE∥BC,EF∥DC,则下列式子中不正确的是(　　).
A.
B.
C.
D.AD2=AB·AF
C
2.如图,在 ABCD中,AB=10,AD=15,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE于点G.若BG=8,则△CEF的周长为(　　).
A.16
B.17
C.24
D.25
A
3.如图,在平面直角坐标系中,△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心,在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD,则点C坐标为(　　).
A.(-1,-1) B.
C. D.(-2,-1)
B
4.如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度,已知标杆BE高1.5 m,测得AB=1.2 m,BC=12.8 m,则建筑物CD的高是(　　).
A.17.5 m
B.17 m
C.16.5 m
D.18 m
A
5.如图,在 ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则 DF∶FC=　　　　　.
1∶2
6.如图,在矩形ABCD中,AB=20,点E是BC边上的一点,将△ABE沿着AE折叠,点B刚好落在CD边上点G处;点F在DG上,将△ADF沿着AF折叠,点D刚好落在AG上点H处,此时S△GFH∶S△AFH=2∶3.
(1)求证:△EGC∽△GFH;
(2)求AD的长;
(3)求tan∠GFH的值.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=∠C=90°,
由折叠对称知∠AGE=∠B=90°,∠AHF=∠D=90°,∴∠GHF=∠C=90°,∠EGC+∠HGF=90°,∠GFH+∠HGF=90°,
∴∠EGC=∠GFH,∴△EGC∽△GFH.
(2)解:∵S△GFH∶S△AFH=2∶3,且△GFH和△AFH等高,
∴GH∶AH=2∶3,
将△ABE沿着AE折叠,点B刚好落在CD边上点G处,∴AG=AB=GH+AH=20,
∴GH=8,AH=12,∴AD=AH=12.
(3)解:在Rt△ADG中,DG=
==16,
由折叠的对称性可设DF=FH=x,
则GF=16-x.
∵GH2+HF2=GF2,
∴82+x2=(16-x)2,解得x=6,∴HF=6.
在Rt△GFH中,tan∠GFH=.

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