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(共44张PPT)
第21讲　与圆有关的位置关系
第六单元
2026
内容索引
01
考点·梳理整合
02
考题·自测体验
03
考法·分类全析
04
考点·巩固迁移
考点·梳理整合
考点一 点与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系有点在圆内、点在圆上、点在圆外三种.
2.数量关系:设圆的半径为r,点与圆心的距离为d,则:
(1)点在圆内 　　　;(2)点在圆上 　　　;(3)点在圆外 　　　　.
dd=r　
d>r
考点二 直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系有相离、相切、相交三种.如图6-21-1:
图6-21-1
2.数量关系:设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则
(1)直线与圆相离 　　　　;
(2)直线与圆相切 　　　　;
(3)直线与圆相交 　　　　.
d>r
d=r
d考点三 圆的切线
1.定义:直线和圆有　　　　　　　的公共点(即直线与圆相切)时,这条直线叫做圆的切线.
2.圆的切线的性质:
定理:圆的切线垂直于　　　　的半径.
3.圆的切线的判定:
(1)根据定义来判定:当直线与圆有且只有　　　个公共点时,该直线与圆相切;
(2)根据数量关系来判定:设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则当
　　　　时,直线与圆相切;
(3)判定定理:过半径外端且　　　　　　　　的直线是圆的切线.
唯一
过切点
一
d=r
垂直于半径
4.切线长:
(1)定义:过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长;
(2)切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长　　　　.
5.三角形的内切圆、内心:
(1)定义:与三角形的三边都　　　　的圆可以作出一个,并且只能作出一个,这个圆叫做三角形的内切圆;
(2)三角形内切圆的圆心叫做三角形的　　　;
(3)三角形的　　　　是三角形三条角平分线的交点,这点到三角形三边的距离　　　　.
相等
相切
内心
内心
相等
考题·自测体验
1.(2021广西北部湾)如图,从一块边长为2,∠A=120°的菱形铁片上剪出一个扇形,这个扇形在以A为圆心的圆上(阴影部分),且圆弧与BC,CD分别相切于点E,F,将剪下来的扇形围成一个圆锥,则圆锥的底面圆半径
是　　　　　.
2.(2021广东)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,则线段CD长度的最小值为　　　　　.
3.(2022贵州黔东南州)(1)请作出图1中△ABC的外接圆☉O(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)如图2,☉O是△ABC的外接圆,AE是☉O的直径,点B是的中点,过点B的切线与AC的延长线交于点D.
①求证:BD⊥AD;
②若AC=6,tan∠ABC=,求☉O的半径.
解:(1)作图略.
(2)①证明:如图,连接OB,
∵BD是☉O的切线,∴OB⊥BD,即∠OBD=90°.
∵点B是的中点,∴,∴∠CAB=∠EAB.
∵OA=OB,∴∠OBA=∠EAB,∴∠CAB=∠OBA,∴OB∥AD,
∴∠D=90°,BD⊥AD.
②如图,连接EC,∠AEC=∠ABC,
∵tan∠ABC=,
∴tan∠AEC=.
∵AE是☉O的直径,∴∠ACE=90°,∴,
∵AC=6,∴EC=8,∴AE==10,
∴☉O的半径为5.
4.(2021湖北黄冈)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O与BC,AC分别相切于点E,F,BO平分∠ABC,连接OA.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若BE=AC=3,☉O的半径是1,求图中阴影部分的面积.
(1)证明:如图,连接OE,OF,过点O作OD⊥AB于点D,∵BO是∠ABC的平分线,
∴OD=OE.
由题意知OE是圆的一条半径,
∴AB是☉O的切线.
(2)解:∵BC,AC与圆分别相切于点E,F,
∴OE⊥BC,OF⊥AC,且∠C=90°,∴四边形OECF是矩形.
∵OE=OF,∴四边形OECF是正方形,
∴OE=OF=EC=FC=1,
∴BC=BE+EC=4.
又AC=3,∴S阴影=(S△ABC-S正方形OECF-优弧所对的S扇形EOF)
=×(×4×3-1×1-)=.故图中阴影部分的面积是.
5.(2023广东节选)如图1,在矩形ABCD中(AB>AD),对角线AC,BD相交于点O,点A关于BD的对称点为A',连接AA'交BD于点E,连接CA'.
(1)求证:AA'⊥CA';
(2)如图2,以点O为圆心,OE为半径作圆,☉O与CD相切,求证:AA'=CA'.
证明:(1)∵点A关于BD的对称点为A',∴AE=A'E,AA'⊥BD.
∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,
∴OE∥A'C,∴AA'⊥CA'.
(2)设☉O与CD切于点F,连接OF,并延长FO交AB于点G(图略), ∴OF⊥CD,OF=OE.
∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OD,
∴AB∥CD,∠FDO=∠GBO,OA=OB.
∴∠GAO=∠GBO.
又∵∠DOF=∠BOG,
∴△DOF≌△BOG,
∴OG=OF,∴OG=OE.
由(1)知AA'⊥BD,
∴∠EAO=∠GAO.
∵∠EAB+∠GBO=90°,
∴∠EAO+∠GAO+∠GBO=90°,
∴3∠EAO=90°,∴∠EAO=30°.
由(1)知AA'⊥CA',
∴tan∠EAO=,
∴tan 30°=,∴AA'=CA'.
考法·分类全析
考法1直线与圆的位置关系的判断
直线与圆的位置关系常常是根据直线与圆的公共点的个数和数量关系来判断的.
例1在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以C为圆心,r为半径作圆.若圆C与直线AB相切,则r的值为(　　).
A.2 cm B.2.4 cm
C.3 cm D.4 cm
解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,由勾股定理,得AB2=32+42=25,即AB=5 cm.
又AB是☉C的切线,设切点为D,连接CD,图略,
∴CD⊥AB.∴CD=r.
∵S△ABC=AC·BC=AB·r,
∴r=2.4 cm,故选B.
答案:B
方法点拨 斜边上的高即为圆的半径是解决本题的突破点.根据直线与圆相切的数量关系知:当圆C与直线AB相切时,圆心C到直线AB的距离与圆的半径相等,于是利用勾股定理求出斜边AB的长,再由直角三角形面积的求法求出斜边上的高即知半径r的值.
考法2切线性质的应用
在应用切线的性质时要注意:(1)切线和圆只有一个公共点;(2)圆心到切线的距离等于半径;(3)“经过圆心”“经过切点”“垂直于切线”这三个结论中,有两个成立时,第三个一定成立.
例2 如图6-21-2,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,MN与☉O相切,切点为A.若∠MAB=30°,则∠B=　　　.
解析:如图,连接OA.
∵MN与圆O相切于点A,
∴OA⊥AM,则∠BAO=90°-∠MAB=60°.
又OA=OB,∴∠B=∠BAO=60°.
答案:60°
方法点拨 有关切线问题,辅助线常常是连接过切点的半径,即产生直角.于是可得到直角三角形,进而可以根据直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识进行计算和证明.
例3如图6-21-3,点A,B在☉O上,直线AC是☉O的切线,OC⊥OB,连接AB交OC于点D.
(1)AC与CD相等吗 为什么
(2)若AC=2,AO=,求OD的长度.
解:(1)AC=CD.理由:
∵OA=OB,∴∠OAB=∠B.
已知直线AC是☉O的切线,
可得∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°.
∵OB⊥OC,∴∠BOC=90°.∴∠ODB+∠B=90°.
∵∠ODB=∠CDA,∴∠CDA+∠B=90°.
∴∠DAC=∠CDA,∴AC=CD.
(2)在Rt△OAC中,AC=CD=2,AO=,OC=OD+DC=OD+2,根据勾股定理得OC2=AC2+AO2,即(OD+2)2=22+()2,解得OD=1.
解题规律 熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理及切线的性质是解决本题的关键.
(1)由AC为圆的切线,利用切线的性质得到∠OAC为直角,再由OC与OB垂直,得到∠BOC为直角,由OA=OB,利用等边对等角得到一对角相等,再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等,利用等角对等边即可得证;
(2)由OC=OD+DC,DC=AC,表示出OC,在Rt△OAC中,利用勾股定理即可求出OD的长.
考法3切线的判定
在应用切线的判定时要注意:切线必须满足两个条件:(1)经过半径外端;(2)垂直于这条半径.
例4如图6-21-4,△ABC内接于☉O,AB是直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于点E,交PC于点F,连接AF.
(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;
(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.
解:(1)AF与☉O相切.理由:如图,连接OC,由PC为☉O的切线,可知CP⊥OC,∠OCP=90°.
∵OF∥BC,∴∠AOF=∠B,∠COF=∠OCB.
∵OC=OB,∴∠OCB=∠B.∴∠AOF=∠COF.
在△AOF和△COF中,
∴△AOF≌△COF.
∴∠OAF=∠OCF=90°.故AF与☉O相切.
(2)由OA=OC,∠AOF=∠COF,可知E为AC的中点,即AE=CE=AC,OE⊥AC.
由(1)知,OA⊥AF,∴在Rt△AOF中,OA=4,AF=3,根据勾股定理得OF=5.
∵S△AOF=·OA·AF=·OF·AE,
∴AE=,则AC=2AE=.
解题规律 判定切线常用以下两种方法:
(1)当已知直线与圆的公共点时,则连接圆心和这点,证明圆心和这点的连线与该直线垂直.利用切线的判定定理解决问题;
(2)当没有已知直线与圆的公共点时,则过圆心作该直线的垂线,证明圆心与垂足之间的距离等于圆的半径.利用直线与圆相切的数量关系来解决问题.
考点·巩固迁移
1.如图,AB为☉O的直径,PD切☉O于点C,交AB的延长线于点D,且CO=CD,则∠ACP=(　　).
A.30° B.45° C.60° D.67.5°
D
2.如图,AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,AC交☉O于点D.若∠ACB=50°,则∠BOD等于(　　).
A.40°
B.50°
C.60°
D.80°
D
3.如图,直线PA过半圆的圆心O,交半圆于A,B两点,PC切半圆于点C.已知PC=3,PB=1,则该半圆的半径为　　　.
4
4.如图,在☉O中,AB为直径,点C为圆上一点,延长AB到点D,使CD=CA,且∠D=30°.
(1)求证:CD是☉O的切线.
(2)分别过A,B两点作直线CD的垂线,垂足分别为E,F,过点C作AB的垂线,垂足为点G.求证:CG2=AE·BF.
证明:(1)连接OC,如图1,
∵CA=CD,且∠D=30°,∴∠CAD=∠D=30°.
∵OA=OC,∴∠CAD=∠ACO=30°,
∴∠COD=∠CAD+∠ACO=30°+30°=60°,
∴∠OCD=180°-∠D-∠COD=180°-30°-60°=90°,
∴ OC⊥CD,∴ CD是☉O的切线.
图1
(2)连接BC,如图2,
由(1)知∠COB=60°,且OC=OB,
∴△OCB为等边三角形,∠CBG=60°.
又CG⊥AD,∴∠CGB=90°,
∴∠GCB=90°-60°=30°.
又∠GCD=60°,∴CB是∠GCD的平分线.
又BF⊥CD,BG⊥CG,∴BF=BG.
∵在Rt△BCG和Rt△BCF中,
∴Rt△BCG≌Rt△BCF,∴CF=CG.
∵∠D=30°,AE⊥ED,∠E=90°,∴∠EAD=60°.
图2
又∠CAD=30°,∴AC是∠EAG的平分线.
又CE⊥AE,CG⊥AB,∴CE=CG.
∵∠E=∠BFC=90°,∠EAC=30°=∠BCF,
∴△AEC∽△CFB,
∴,即AE·BF=CF·CE,
又CE=CG,CF=CG,∴AE·BF=CG2.
5.如图,△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆☉O相交于点E,连接BE,CE,过点E作EF∥BC,交CM于点D.
求证:(1)BE=CE;
(2)EF为☉O的切线.
证明:(1)∵四边形ACBE是圆内接四边形,
∴∠EAM=∠EBC.
∵AE平分∠BAM,∴∠BAE=∠EAM.
∵∠BAE=∠BCE,∴∠BCE=∠EAM,
∴∠BCE=∠EBC,∴BE=CE.
(2)如图,连接EO并延长交BC于点H,连接OB,OC.
∵OB=OC,EB=EC,
∴直线EO垂直平分BC,
∴EH⊥BC.∵EF∥BC,
∴EO⊥EF.
∵OE是☉O的半径,∴EF为☉O的切线.

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