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(共47张PPT)
第24讲　图形的平移、旋转与对称
第七单元
2026
内容索引
01
考点·梳理整合
02
考题·自测体验
03
考法·分类全析
04
考点·巩固迁移
考点·梳理整合
考点一 图形的平移
1.概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和　　　　.
2.要素:一是平移的　　　　,二是平移的　　　　.
3.基本性质:
(1)平移前后的两个图形　　　　;
(2)经过平移,前后两个图形上对应点所连线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
大小
方向
距离
全等
4.用坐标表示平移:
在平面直角坐标系xOy中,已知点P(x,y),a>0,b>0,则:
(1)点P向右平移a个单位长度后的对应点P1的坐标是　　　　　;
(2)点P向左平移a个单位长度后的对应点P2的坐标是　　　　　;
(3)点P向上平移b个单位长度后的对应点P3的坐标是　　　　　;
(4)点P向下平移b个单位长度后的对应点P4的坐标是　　　　　.
(x+a,y)
(x-a,y)
(x,y+b)
(x,y-b)
考点二 图形的旋转
1.概念:在平面内,一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为　　　　,转动的角称为　　　　.旋转不改变图形的形状和大小.
2.三要素:旋转中心、　　　　和旋转方向,其中,旋转方向包括顺时针方向和逆时针方向.
3.基本性质:
(1)旋转前后的两个图形　　　　,对应线段相等,对应角相等;
(2)一个图形和它经过旋转所得的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于　　　　;
(3)确定旋转中心的方法:任意两组对应点连线段的垂直平分线的交点即旋转中心.
旋转中心
旋转角
旋转角
全等
旋转角
4.用坐标表示旋转:
在平面直角坐标系xOy中,已知点P(x,y),则:
(1)点P绕坐标原点逆时针旋转90°后的对应点P1的坐标是　　　　　;
(2)点P绕坐标原点逆时针旋转180°后的对应点P2的坐标是　　　　　;
(3)点P绕坐标原点逆时针旋转270°后的对应点P3的坐标是　　　　　;
(4)点P绕坐标原点逆时针旋转360°后的对应点P4的坐标是　　　　　.
注:顺时针旋转90°相当于逆时针旋转270°.
(-y,x)
(-x,-y)
(y,-x)
(x,y)
考点三 图形的对称
1.轴对称与轴对称图形:
(1)轴对称图形的概念:如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做　　　　　;
(2)轴对称的性质:在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴　　　　　　,对应线段相等,对应角相等;
对称轴
垂直平分
(3)轴对称与轴对称图形的关系:
名称 轴对称 轴对称图形
图形 如:
对称轴条数 只有一条 可能有1条、2条、3条、4条……
图形 个数 两个具有特殊位置关系的全等图形 一个具有特殊形状的图形
2.中心对称与中心对称图形:
(1)中心对称的概念:如果把一个图形绕着某一点旋转180°,它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做它们的　　　　　　;
(2)中心对称图形:把一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的　　　　　　.
(3)中心对称的性质:
成中心对称的两个图形全等,对应点所连线段经过　　　　　,且被
　　　　　平分;
对称中心
对称中心
对称中心
对称中心
(4)中心对称与中心对称图形的关系:
名称 中心对称 中心对称图形
图形 如:

对称中心的 位置 可能在两个图形外,可能在某一图形上…… 一定在这个图形内
图形的个数 两个具有特殊位置关系的全等图形 一个具有特殊形状的图形
3.用坐标表示对称:
在平面直角坐标系xOy中,已知点P(x,y),则:
(1)点P关于x轴对称的点P1的坐标是　 　　;
(2)点P关于y轴对称的点P2的坐标是　　　　;
(3)点P关于原点对称的点P3的坐标是　　　　.
4.旋转与中心对称的关系:
(1)中心对称是特殊的旋转,其旋转角为180°.
(2)一个图形是旋转对称图形但不一定是中心对称图形,如:正三角形、正五边形等.
(x,-y)
(-x,y)
(-x,-y)
考题·自测体验
1.(2024广东深圳)下列用七巧板拼成的图案中,为中心对称图形的是(　　).
C
2.(2020广东)在平面直角坐标系中,点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为(　).
A.(-3,2)
B.(-2,3)
C.(2,-3)
D.(3,-2)
D
3.(2020广东)把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数表达式为(　　).
A.y=x2+2
B.y=(x-1)2+1
C.y=(x-2)2+2
D.y=(x-1)2+3
C
4.(2021广东广州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C',使点C'落在AB边上,连接BB',则sin∠BB'C'的值为(　　).
A. B.
C. D.
C
5.(2021安徽)如图,在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中,△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上.
(1)将△ABC向右平移5个单位长度得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)将(1)中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1,画出△A2B2C1.
解:(1)如图所示.
(2)如图所示.
考法·分类全析
考法1判别轴对称图形和中心对称图形
此类问题是中考的常见题型,解题的关键是根据定义,寻找对称轴或对称中心,能找到对称轴就是轴对称图形,能找到对称中心就是中心对称图形,否则就不是.
例1下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　　).
A.正三角形 B.正方形
C.正六边形 D.圆
解析:A.正三角形是轴对称图形但不是中心对称图形;B.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项不合题意;C.正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项不合题意;D.圆既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项不合题意.
答案:A
方法点拨 1.掌握中心对称图形与轴对称图形的概念:判别轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;判别中心对称图形是要寻找对称中心,图形绕对称中心旋转180°后与原图形重合.
2.如果一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形,那么这个图形一定有两条互相垂直的对称轴.
考法2图形的平移
解决平移问题需要关注平移的两要素:平移的方向和距离.理解平移的概念的关键:平移只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小.
例2如图7-24-1,将四边形ABCD先向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,那么点A的对应点A'的坐标是(　　).
图7-24-1
A.(6,1)
B.(0,1)
C.(0,-3)
D.(6,-3)
解析:∵将四边形ABCD先向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,∴点A也先向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,由题图可知,点A的坐标为(3,-1),∴A'的坐标为(0,1).故选B.
答案:B
方法点拨 在平面直角坐标系中,图形的平移实质上可以看作是图形上某点的平移.平移中点的变化规律:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.
考法3图形的旋转
解决旋转问题需要关注的两点:(1)寻找旋转中心的方法:找到旋转前后的两个图形上两对对应点,作出其连线段的中垂线,两条中垂线的交点即为它们的旋转中心.(2)旋转前后,两个图形上对应点与旋转中心的夹角相等,都等于旋转角.
例3如图7-24-2,在方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A'B'C'.
图7-24-2
解:如图所示:
方法点拨 在网格或坐标系中画旋转图形时,先根据题意确定对应点的位置或坐标,描出对应点后,再依次连线.
考法4图形的对称
图形的对称主要包括轴对称和中心对称.解题时需要正确找到对称轴和对称中心.
例4如图7-24-3,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,4),请解答下列问题:
图7-24-3
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2,并写出点A2的坐标.
解:(1)如图所示,点A1的坐标为(2,-4).
(2)如图所示,点A2的坐标为(-2,4).
方法点拨 解答此类题目的关键是掌握关于坐标轴对称的点和关于原点对称的点的坐标特点,然后根据题意找到各点的对应点,最后顺次连接即可.
(1)先分别找出A,B,C三点关于x轴的对称点,再顺次连接,然后根据图形写出A1点的坐标;
(2)将△A1B1C1中的各点A1,B1,C1绕原点O旋转180°后,即关于原点对称,得到相应的对应点A2,B2,C2,连接各对应点即得△A2B2C2.
考法5轴对称性质的综合应用
图形沿某直线折叠,则折叠前后两个图形关于折痕成轴对称.
例5如图7-24-4,在矩形ABCD中,点E是边CD的中点,将△ADE沿AE折叠后得到△AFE,且点F在矩形ABCD内部.将AF延长交边BC于点G.若,则=　　　.(用含k的代数式表示)
图7-24-4
解析:由点E是边CD的中点,
可知DE=CE.
由将△ADE沿AE折叠后得到△AFE,
可知DE=EF,AF=AD,∠AFE=∠D=90°,CE=EF.
如图,连接EG,在Rt△ECG和Rt△EFG中,
∴Rt△ECG≌Rt△EFG,∴CG=FG.
设CG=a,∵,∴GB=ka,
∴BC=CG+BG=a+ka=a(k+1).
在矩形ABCD中,AD=BC=a(k+1),
∴AF=a(k+1),AG=AF+FG=a(k+1)+a=a(k+2).
在Rt△ABG中,
AB==2a,
∴.
答案:
方法点拨 根据中点可得DE=CE,再根据翻折的性质可得DE=EF,AF=AD, ∠AFE=∠D=90°,从而得到CE=EF.连接EG,利用“HL”证明Rt△ECG和Rt△EFG全等,根据全等三角形对应边相等可得CG=FG.设CG=a,表示出GB,然后求出BC,再根据矩形的对边相等可得AD=BC,从而求出AF,再求出AG,然后利用勾股定理列式求出AB,再求比值即可.
熟记有关轴对称的性质、矩形的性质、勾股定理等,并作辅助线构造出全等三角形是解此题的关键.
考点·巩固迁移
1.下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是(　　).
C
2.如图,△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称,P为MN上任意一点,下列结论不正确的是(　　).
A.AP=A1P
B.△ABC与△A1B1C1的面积相等
C.MN垂直平分线段AA1
D.直线AB与A1B1的交点不在MN上
D
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转至△A'B'C,使得点A'恰好落在AB上,则旋转角为(　　).
A.30°
B.60°
C.90°
D.150°
B
4.如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C与点C'重合.若AB=2,则C'D的长为(　　).
A.1
B.2
C.3
D.4
B
5.如图,在△ABC中,BC=3,将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1,点P,Q分别是AB,A1C1的中点,PQ的最小值等于　　　　　.
6.在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点,顶点A,B的坐标分别是(-1,1),(2,1),将平行四边形ABCD 沿x轴向右平移3个单位长度,则顶点C的对应点C1的坐标是　　　　　.
(4,-1)
7.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-2,0),等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD,则平移的距离是　　　个单位长度;△AOC与△BOD关于直线对称,则对称轴是　　　;△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB,则旋转角度可以是　　　.
(2)连接AD,交OC于点E,求∠AEO的度数.
解:(1)2　y轴　120°
(2)如图,由等边三角形AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB,知OA=OD.
∵∠AOC=∠BOD=60°,
∴∠DOC=60°,
即OE为等腰三角形AOD的顶角的平分线,
故OE垂直平分AD,即∠AEO=90°.

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