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(共43张PPT)
第22讲　与圆有关的计算
第六单元
2026
内容索引
01
考点·梳理整合
02
考题·自测体验
03
考法·分类全析
04
考点·巩固迁移
考点·梳理整合
考点一 弧长、扇形面积
1.圆的周长:半径为r的圆的周长C=　　　　.
2.圆的面积:半径为r的圆的面积S=　　　　.
3.弧长公式:在半径为r的圆中,n°的圆心角所对的弧长l=　　　　　　.
4.扇形面积公式:
(1)在半径为r的圆中,圆心角为n°的扇形面积S扇形=　　　　;
(2)在半径为r的圆中,弧长为l的扇形面积S扇形=　　　.
2πr　
πr2　
　
　
rl
考点二 圆柱、圆锥的侧面积和全面积
1.圆柱的侧面展开图:如图6-22-1,圆柱的侧面展开图是矩形,其长为圆柱的底面周长,宽为圆柱的高.
2.圆柱的侧面积:底面半径为r,高为h的圆柱的侧面积S侧面=　　　　.
3.圆柱的全面积:S全=S底面+S侧面=　　　　　　　.
2πrh　
2πr2+2πrh　
4.圆锥的侧面展开图:如图6-22-2,圆锥的侧面展开图是一个扇形,扇形的半径为圆锥的母线长,扇形弧长为圆锥的底面周长.
5.圆锥的侧面积:底面半径为r,母线长为R的圆锥的侧面积S侧面=　　　　.
6.圆锥的全面积:底面半径为r,母线长为R的圆锥的全面积S全=S底面+S侧面=　　　　　　　.
πRr　
πr2+πRr
考点三 正多边形和圆
1.正多边形的概念:各个角相等,各条边也都　　　的多边形叫做正多边形.
2.正多边形和圆的关系:
(1)每一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.其中,这两个圆的圆心叫做正多边形的　　　　　,外接圆的半径R叫做这个正多边形的　　　　,内切圆的半径r叫做这个正多边形的　　　　　,这个正多边形的一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的　　　　.
(2)把一个圆n等分,顺次连接各分点,得到这个圆的内接正n边形;依次过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.
相等
中心
半径
边心距
中心角
3.正多边形的有关计算:
(1)定理:正n边形的半径和边心距把这个多边形分成2n个全等的直角三角形.
(2)正n边形的中心角αn=　　　　;
边长an、半径Rn、边心距rn之间满足关系式:
;
面积Sn=n·an·rn.
考题·自测体验
1.(2024广东深圳)如图,在矩形ABCD中,BC=AB,O为BC中点,OE=AB=4,则扇形EOF的面积为 　　　　.
4π
2.(2021广东)如图,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=4.分别以点B、点C为圆心,线段BC长的一半为半径作圆弧,交AB,BC,AC于点D,E,F,则图中阴影部分的面积为　　　　　.
4-π
3.(2022吉林)如图,在半径为1的☉O上顺次取点A,B,C,D,E,连接AB,AE,OB, OC,OD,OE.若∠BAE=65°,∠COD=70°,则的长度之和
为　　　　　.(结果保留π)
π
4.(2024广东深圳)如图,在△ABD中,AB=BD,☉O为△ABD的外接圆,BE为☉O的切线,AC为☉O的直径,连接DC并延长交BE于点E.
(1)求证:DE⊥BE;
(2)若AB=5,BE=5,求☉O的半径.
(1)证明:连接BO并延长交AD于点H,连接OD,如图,
∵AB=BD,OA=OD,
∴BH垂直平分AD,
∴∠BHD=90°.
∵BE为☉O的切线,
∴OB⊥BE,∴∠OBE=90°.
∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=90°,
∴四边形BEDH为矩形,
∴∠E=90°,∴BE⊥DE.
(2)解:由(1)知,BH垂直平分AD,AH=DH=AD,
∵四边形BEDH为矩形,∴DH=BE=5.
在Rt△BDH中,∵BD=AB=5,DH=5,
∴BH=5,
设☉O的半径为r,则OH=5-r,OD=r,在Rt△ODH中,(5-r)2+52=r2,解得r=3,即☉O的半径为3.
5.(2022湖北天门)如图,正方形ABCD内接于☉O,点E为AB的中点,连接CE交BD于点F,延长CE交☉O于点G,连接BG.
(1)求证:FB2=FE·FG;
(2)若AB=6,求FB和EG的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BC,∴.∴∠DBA=∠CGB.
∵∠EFB=∠BFG,
∴△EFB ∽△BFG.
∴.∴FB2=FE·FG.
(2)解:连接OE,AG,如图,
∵AB=AD=6,∠A=90°,∴BD==6.∴OB=BD=3.
∵点E为AB的中点,∴OE⊥AB.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC⊥AB,∠DBA=45°,AB=BC,
∴OE∥BC,OE=BE=AB.
∵∠EOF=∠CBF,∠OFE=∠CFB,
∴△OFE ∽△BFC,∴.∴,
∴,∴BF=2.
∵点E为AB的中点,
∴AE=BE=3,
∴EC==3.
由图知,∠GCB=∠GAB,且∠AEG=∠CEB,
∴△AEG∽△CEB.
∴,∴EG=.
考法·分类全析
考法1有关弧长的计算
把半径为r的圆周360等分,则每一份的弧所对的圆心角为1°,弧的长度为,因此n°圆心角所对的弧长为n×,即弧长l=.
与弧长有关的计算关键要找到该弧所在圆的半径和该弧所对的圆心角.
例1如图6-22-3,在三角尺ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=6.三角尺绕直角顶点C逆时针旋转,当点A的对应点A'落在AB边的起始位置上时即停止转动,则B点转过的路径长为　　　　　　.
解析:由题意可知,点B经过的路径是半径为6、圆心角为60°的弧,其长度为=2π.
答案:2π
方法点拨 解决动点问题的关键:找到运动的点经过的路径在哪里,所在的圆的圆心是什么,半径是多少,转过的圆心角是多大,然后代入公式计算.
考法2有关扇形面积的计算
1.把半径为r的圆面360等分,每一份就是圆心角为1°的扇形,其面积为,因此圆心角为n°的扇形面积S扇形=.
2.若半径为r的扇形弧长为l,则S扇形=lr.
例2若钟面上的分针的长为1,分针从上午9时到上午9时30分在钟面上扫过的面积是(　　).
A.π B.π C.π D.π
解析:从上午9时到上午9时30分分针扫过的扇形的圆心角是180°,则分针在钟面上扫过的面积是π,故选A.
答案:A
误区警示 解题时要注意分清弧长公式和扇形面积公式的联系和区别,不能混淆.
考法3有关圆锥侧面积的计算
圆锥是立体图形,其侧面展开图是扇形,计算其侧面积时,要找到圆锥的母线长和底面半径.
例3用一个圆心角为120°,半径为2的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径为(　　).
A. B. C. D.
解析:设圆锥底面的半径为r,根据题意得2πr=,解得r=.
答案:D
方法点拨 解决本题的关键是正确理解:圆锥的侧面展开图为扇形,扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
考法4有关正多边形的计算
设正n边形的边长为an,半径为Rn,边心距为rn,中心角为αn,面积为Sn,周长为Pn,则Pn=nan,αn=,Sn=Pn·rn.
例4如图6-22-4,要拧开一个边长为a=2 mm的正六边形螺栓头部,扳手张开的开口b至少为(　　).
A.6 mm
B.12 mm
C.6 mm
D.4 mm
解析:画出正六边形,如图,由题意BN= mm,∠BON=30°,则ON==3(mm),
所以MN=6 mm,选C.
答案:C
方法点拨 如图6-22-5,正多边形的有关计算最终都落实到Rt△AOM中,利用解直角三角形的有关知识来解决.其中AB为正多边形的边长,OA为正多边形外接圆的半径,OM为其边心距,∠AOB为其中心角.
图6-22-5
考法5阴影部分面积的计算
阴影部分常常是不规则图形,解题的依据:一个图形的面积等于它被分成的几个图形面积的和.
例5如图6-22-6,正方形ABCD边长为4,以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积为　　　　　.(结果保留π)
图6-22-6
解析:如图,连接OE,则OC=OE=OB=2,因为四边形ABCD是正方形,所以∠DBC=∠BEO=45°,则∠EOC=90°,得EO∥CD,
故S阴影=S梯形EOCD-S扇形EOC==6-π.
答案:6-π
方法点拨 解决不规则图形面积问题的关键是进行适当地割补,把它分成一些能求面积(规则图形)或已知面积的图形面积的和或差.
考点·巩固迁移
1.如图,半径为1的四个圆两两相切,则图中阴影部分的面积为(　　).
A.4-π
B.8-π
C.2(4-π)
D.4-2π
A
2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=60°,∠ACD=40°,若☉O的半径为5,则的长为(　　).
A.
B.
C.π
D.
B
3.如图,四边形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形EBF的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是(　　).
A.
B.
C.π-
D.π-
B
4.如图,公路弯道标志R=m表示圆弧道路所在圆的半径为m(单位:m),某车在标有R=300处的弯道上从点A行驶了100π m到达点B,则线段
AB=　　　　　m.
300
5.小华为参加九年级毕业晚会演出,准备制一顶圆锥形纸帽,如图所示,纸帽的底面半径为9 cm,母线长为30 cm,制作这个纸帽(不考虑接缝部分)需要纸板的面积至少为　　　　　cm2.(结果保留π)
270π
6.如图,将一个边长为1的正八边形补成正方形,这个正方形的边长等于　　　　　.(结果保留根号)
1+　
7.如图,小亮从点A出发,沿直线前进10 m后向左转30°,再沿直线前进10 m,又向左转30°……照这样走下去,他第一次回到出发地点A时,一共走了
　　　　　 m.
120

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