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(共33张PPT)
第15讲　全等三角形
第四单元
2026
内容索引
01
考点·梳理整合
02
考题·自测体验
03
考法·分类全析
04
考点·巩固迁移
考点·梳理整合
考点一 全等三角形的概念和性质
1.全等三角形:能够　　　　　　的两个三角形叫做全等三角形.
2.全等三角形的性质:(1)全等三角形的对应边　　　　,全等三角形的
　　　　　相等;(2)全等三角形周长　　　,面积　　　　;(3)全等三角形对应的中线、高、角平分线都相等.
完全重合
相等
对应角
相等
相等
考点二 全等三角形的判定
类型 图形 已知条件 是否全等 形成结论
一般 三角 形的 判定 A1B1=A2B2, B1C1=B2C2, A1C1=A2C2 是 　　
∠B1=∠B2, B1C1=B2C2, ∠C1=∠C2 是 ASA
∠B1=∠B2, ∠C1=∠C2, A1C1=A2C2 是 AAS
A1B1=A2B2, ∠B1=∠B2, B1C1=B2C2 是 　　
SSS
SAS
类型 图形 已知条件 是否全等 形成结论
直角 三角 形的 判定 A1B1=A2B2, A1C1=A2C2 是 　　
HL
考点三 角平分线的性质及判定
1.角平分线的性质:角平分线上的点到　　　　　　的距离相等.
2.角平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在
　　　　　　上.
3.三角形角平分线的性质:三角形的三条角平分线交于一点,且这一点到三角形　　　　的距离相等.
角的两边
角的平分线
三边
考题·自测体验
1.(2021江苏盐城)工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别截取OC=OD,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点C,D重合,这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线.这里构造全等三角形的依据是(　　).
A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS
D
2.(2024广东广州)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为(　　).
A.18
B.9
C.9
D.6
C
3.(2022湖南衡阳)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是BC边上的点,且BD=CE,求证:AD=AE.
证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD ≌△ACE,∴AD=AE.
4.(2021广东广州)如图,点E,F在线段BC上,AB∥CD,∠A=∠D,BE=CF,
证明:AE=DF.
证明:∵AB∥CD,∴∠B=∠C.
在△ABE和△DCF中,
∴△ABE≌△DCF.∴AE=DF.
考法·分类全析
考法1选用合适的方法判定三角形全等
全等三角形的五种判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,HL)中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组边对应相等;若已知一角及一邻边,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.
例1如图4-15-1,数学兴趣小组要测量河中浅滩B(可看成一点)与对岸A的距离,先在另一岸边确定点C,使C,A,B在同一条直线上,再在AC的垂直方向上作线段CD,取它的中点O.然后作DF垂直于CD,使F,O,A在同一条直线上,在DF上取一点E,使E,O,B也在同一条直线上,那么EF的长就是浅滩B与对岸A的距离,你能写出同学们这样做的根据吗
解:∵AC⊥CD,FD⊥CD,∴∠C=∠D=90°.
在△AOC和△FOD中,
∴△AOC≌△FOD.
∴OA=OF,∠A=∠F.
在△AOB和△FOE中,
∴△AOB≌△FOE.
∴AB=FE,即EF的长就是浅滩B与对岸A的距离.
方法点拨 证明三角形全等的五种方法为SSS,SAS,ASA,AAS,HL,解题时应注意选择合适的方法.当然,在解决一个问题时,有时会用到一种或多种三角形全等的判定方法.
考法2综合运用全等三角形的判定与性质
全等三角形的性质有“对应边相等,对应角相等”等,全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定方法.在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形.
例2在△ABC中,∠ACB=2∠B,如图4-15-2图1,当∠C=90°,AD为∠BAC的平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD.
(1)如图4-15-2图2,当∠C≠90°,AD为△ABC的角平分线时,线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系 不需要证明,请直接写出你的猜想.
(2)如图4-15-2图3,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系 请写出你的猜想,并说明理由.
图4-15-2
解:(1)猜想:AB=AC+CD.
(2)猜想:AB+AC=CD.
理由:如图,在BA的延长线上截取AE=AC,连接ED.
由AD平分∠FAC,可知∠EAD=∠CAD.
在△EAD与△CAD中,
∴△EAD≌△CAD.
∴ED=CD,∠AED=∠ACD.∴∠FED=∠ACB.
又∠ACB=2∠B,∠FED=∠B+∠EDB,
∴∠EDB=∠B.∴EB=ED.
∴EA+AB=EB=ED=CD.∴AC+AB=CD.
方法点拨 添加辅助线构造全等三角形的常用方法
(1)若已知三角形的中线,往往会用到“倍长中线”的方法;(2)可通过作平行线,构造相等的角,创造三角形全等的条件;(3)截取相等线段或作相等角,创造三角形全等的条件.
考法3角平分线的判定和性质
判定角平分线除了利用角平分线的定义,还可以利用:到角两边距离相等的点在角的平分线上.角平分线具有性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
这里的距离是指点到角的两边垂线段的长;角平分线的性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,有时不必证明全等.
例3如图4-15-3,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是36 cm2,AB=10 cm,AC=8 cm,求DE的长.
图4-15-3
解:由AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
可知DE=DF.
故S△ABC=S△BDA+S△ACD=AB·DE+AC·DF
=DE·(AB+AC).
又S△ABC=36 cm2,AB=10 cm,AC=8 cm,
即DE·(10+8)=36,故DE=4 cm.
方法点拨 在证明涉及角平分线的问题时,应尽量直接应用定理,避免再证明一次两个三角形全等,从而简化解题的过程.
考点·巩固迁移
1.如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论一定成立的是(　　).
A.AC=DE
B.∠BAD=∠CAE
C.AB=AE
D.∠ABC=∠AED
B
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线交AC边于点D,延长BD至点E,使DE=AD,则∠ECA的度数为(　　).
A.30° B.35° C.40° D.45°
C
3.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,AC=5,DE=2,则△ACD的面积为　　　　　.
5
4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且∠GDF=∠ADF.
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)连接EG,判断EG与DF的位置关系,并说明理由.
(1)证明:∵AD∥BC,∴∠ADE=∠F.
由E为AB的中点,可知AE=BE.
在△ADE和△BFE中,
∴△ADE≌△BFE.
(2)解:EG与DF的位置关系是EG垂直平分DF.理由:
∵∠GDF=∠ADE,∠ADE=∠F,∴∠GDF=∠F,
∴FG=DG,即△DFG为等腰三角形.
由△ADE≌△BFE,得DE=EF,即GE为DF的中线,故GE垂直平分DF.
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.线段EF是由线段AB平移得到的,点F在边BC上,△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形,且点D恰好在AC的延长线上.
求证:(1)∠ADE=∠DFC;
(2)CD=BF.
证明: (1)∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠CDF+∠DFC=90°.
∵△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形,
∴∠EDF=90°,DE=FD.
∵∠EDF=∠ADE+∠CDF=90°,
∴∠ADE=∠DFC.
(2)如图,连接AE,∵线段EF是由线段AB平移得到的,
∴EF∥AB,EF=AB,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴AE∥BC,AE=BF,
∴∠DAE=∠BCA=90°,
∴∠DAE=∠FCD.
在△ADE和△CFD中,
∴△ADE≌△CFD,∴AE=CD.
∵AE=BF,∴CD=BF.

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