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第18讲　多边形与平行四边形
第五单元
2026
内容索引
01
考点·梳理整合
02
考题·自测体验
03
考法·分类全析
04
考点·巩固迁移
考点·梳理整合
360°
n　
平行且相等
互补
互相平分
平行
相等
平行且相等
相等
互相平分
考题·自测体验
1.(2024四川雅安)如图,☉O的周长为8π,正六边形ABCDEF内接于☉O,则△OAB的面积为(　　).
A.4　　　　
B.4
C.6
D.6
B
2.(2021广东)如图,在 ABCD中,AD=5,AB=12,sin A=.过点D作DE⊥AB,垂足为点E,则sin∠BCE=　　　　　.
考法·分类全析
考法1多边形的内角和及外角和
n边形的内角和与边数有关,而外角和恒等于360°.解题的主要依据是记住n边形内角和公式:n边形内角和=(n-2)·180°(n≥3),以及正n边形的每一个外角都等于.
例1一个n边形的内角和是720°,那么n=　　　　　.
解析:n边形的内角和可以表示成(n-2)·180°(n≥3),设这个多边形的边数是n,就得到方程(n-2)·180°=720°,解得n=6.
答案:6
方法点拨
主要是考查多边形的内角和公式:n边形内角和=(n-2)·180°(n≥3).
考法2平行四边形的性质
平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质常常用来计算和推理证明,平行四边形的对边平行常常转化为角相等.
例2如图5-18-1,点G,E,F分别在 ABCD的边AD,DC和BC上,DG=DC,CE=CF,点P是射线GC上一点,连接FP,EP.求证:FP=EP.
证法一: ∵DG=DC,
∴∠DGC=∠DCG.
由四边形ABCD是平行四边形,可知AD∥BC.
∴∠DGC=∠GCB.
∴∠DCG=∠GCB.
∴∠FCP=∠ECP.
∵CF=CE,CP=CP,
∴△FCP≌△ECP.
∴FP=EP.
证法二:连接EF交GC于点M(如图).
∵DG=DC,
∴∠DGC=∠DCG.
由四边形ABCD是平行四边形,可知AD∥BC.
∴∠DGC=∠FCG.∴∠DCG=∠FCG.
∵CF=CE,CM=CM,
∴△FMC≌△EMC.
∴FM=EM,
∴∠FMC=∠EMC=90°,
即GP为线段EF的垂直平分线.∴FP=EP.
方法点拨 证明两条线段相等最常见的方法就是证这两条线段所在的三角形全等,如果不在两个三角形中,有时需要构造两个全等的三角形;也可以利用线段的垂直平分线,角平分线及等腰三角形的“三线合一”等性质来证明.特别地,当所要证明相等的两条线段不仅有公共端点,且它们恰好在一条直线上时,还可以利用平行四边形的性质“对角线互相平分”来证明.
考法3平行四边形的判定
平行四边形的判定常常与性质综合考查,可以从“对边的位置关系与数量关系”考虑,从对角线的角度主要看两条对角线是否互相平分.
例3如图5-18-2,将 ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,折痕l交CD边于点E,连接BE.
(1)求证:四边形BCED'是平行四边形;
(2)若BE平分∠ABC,求证:AB2=AE2+BE2.
图5-18-2
证明:(1)由四边形ABCD为平行四边形,
可知 AB∥CD,∠D=∠ABC.
又由折叠可知∠D=∠AD'E,
∴∠AD'E=∠ABC,∴ED'∥BC.
又AB∥CD,∴四边形BCED'是平行四边形.
(2)∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠D'BE.
由四边形ABCD为平行四边形,可知AD∥BC.
故∠DAB+∠CBA=180°.
∵∠EAB+∠EBD'=(∠DAB+∠CBA)=90°=∠AEB,
∴AB2=AE2+BE2.
方法点拨 证明一个四边形是平行四边形的方法:两组对边分别平行,两组对边分别相等,一组对边平行且相等,对角线互相平分.
考点·巩固迁移
1.如图,点F在正五边形ABCDE的内部,△ABF为等边三角形,则∠AFC等于
(　　).
A.108° B.120° C.126° D.132°
C
2.如图,在 ABCD中,下列说法一定正确的是(　　).
A.AC=BD
B.AC⊥BD
C.AB=CD
D.AB=BC
C
3.如图,在 ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能为(　　).
A.BE=DF
B.BF=DE
C.AE=CF
D.∠1=∠2
C
4.一个多边形的内角和是外角和的4倍,则这个多边形是(　　).
A.八边形
B.九边形
C.十边形
D.十二边形
C
5.如图,在平行四边形ABCD中,AB=10,BC=6,E是边CD的中点,F是平行四边形ABCD内一点,且∠CFD=90°,连接AF并延长,交BC于点G.若EF∥AD,∠AFD=∠FCG,则AF的长为　　　　.
2　
6.如图,在 ABCD中,连接BD,AD⊥BD,AB=4,sin A=,则 ABCD的面积是　　　　　.
3
7.如图,在四边形ABCD中,∠ACB=∠CAD=90°,点E在BC上,AE∥DC, EF⊥AB,垂足为F.
(1)求证:四边形AECD是平行四边形;
(2)若AE平分∠BAC,BE=5,cos B=,求BF和AD的长.
(1)证明:∵∠ACB=∠CAD=90°,∴AD∥CE.
∵AE∥DC,∴四边形AECD是平行四边形.
(2)解:∵EF⊥AB,∴∠BFE=90°.
∵cos B=,∴BF=BE=×5=4,
∴EF==3.
∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,∠ACE=90°,
∴EC=EF=3.
由(1)得:四边形AECD是平行四边形,
∴AD=EC=3.

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