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(共42张PPT)
第13讲　角、相交线和平行线
第四单元
2026
内容索引
01
考点·梳理整合
02
考题·自测体验
03
考法·分类全析
04
考点·巩固迁移
考点·梳理整合
考点一 线段、射线和直线
1.直线的基本事实:经过两点　　　　　一条直线.
2.线段的基本事实:两点之间的所有连线中,　　　　最短.
3.两点之间的距离:两点之间线段的　　　,叫做这两点之间的距离.
4.线段的中点:把一条线段分成两条　　　　的线段的点.
有且只有
线段
长度
相等
考点二 角
1.(1)静态定义:由两条具有公共端点的　　　　组成.
(2)动态定义:角可以看成是由一条射线绕着它的端点　　　　而成的.
2.度量:角的度量单位为度、分、秒,并且1°=　　　,1'=　　　;
1周角=2平角=　　直角=　　　.
3.角的平分线:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个
　　　　的角,这条射线叫做这个角的平分线.
射线
旋转
60'　
60″
4
360°
相等
4.(1)互余:如果两个角的和为　　　,那么这两个角互为余角,简称互余,其中一个角是另一个角的余角.
(2)互补:如果两个角的和为　　　,那么这两个角互为补角,简称互补,其中一个角是另一个角的补角.
(3)互余与互补的角的性质:同角或等角的余角　　　　;同角或等角的补角　　　　.
90°
180°
相等
相等
考点三 相交线
1.对顶角:(1)定义:两条直线相交,有公共顶点且它们的两边互为反向　　　　,具有这种位置关系的两个角叫做对顶角.
(2)性质:对顶角　　　　.
2.同位角、内错角和同旁内角:如图4-13-1,在同一平面内,两条直线被第三条直线所截得到八个角,(1)其中是同位角的有∠1和∠5,∠2和　　　,　　　和∠7,
　　　和　　　;(2)其中是内错角的有∠2和　　　,
　　　和∠5;(3)其中是同旁内角的有∠2和∠5,
　　　和　　　.
图4-13-1
延长线
相等
∠6
∠3
∠4
∠8
∠8
∠3
∠3
∠8
3.垂直的定义:两条直线相交成四个角,如果有一个角是　　　　,那么称这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.
4.垂线段的定义:如图4-13-2,A,B为直线l上的两点,P为直线l外一点,PO⊥l,垂足为O,线段PO叫做　　　　,线段PA,PB叫做斜线段.
图4-13-2
直角
垂线段
5.(1)垂线段的事实:平面内,过一点　　　　　一条直线与已知直线垂直;
(2)垂线段的性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,
　　　　　　最短.
6.点到直线的距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的　　　　,叫做点到直线的距离.
有且只有
垂线段
长度
考点四 平行线
1.定义:在同一平面内,　　　　的两条直线叫做平行线.用符号“∥”表示.
2.位置关系:在同一平面内,两条直线的位置关系有两种(不考虑重合):
　　　　和平行.
3.(1)平行的基本事实:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线　　　　.
(2)平行的传递性:平行于同一条直线的两条直线互相　　　　.
不相交
相交
平行
平行
4.平行线的判定方法:(1)平行线的定义;
(2)平行线的传递性;(3)　　　　　相等,两直线平行;(4)　　　　　　相等,两直线平行;(5)　　　　　　互补,两直线平行.
5.平行线的性质:(1)两直线平行,　　　　　相等;(2)两直线平行,________　　　　　相等;(3)两直线平行,　　　　　　　互补.
同位角
内错角
同旁内角
同位角
内错角
同旁内角
考点五 命题、定理与证明
1.命题:　　　　一件事情的句子,叫做命题.命题由　　　　和结论两部分组成.
2.真、假命题:正确的命题称为真命题.不正确的命题称为假命题.
3.证明:演绎推理的过程称为证明.
4.定理:经过　　　　的真命题称为定理.
5.互逆命题与互逆定理:(1)在两个命题中,如果一个命题的条件和________　　　　是另一个命题的结论和　　　　,那么这两个命题称为互逆命题;
(2)如果一个定理的逆命题经过证明是　　　,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理.
判断
条件
证明
结论
条件
真命题
考题·自测体验
1.(2022广东)如图,直线a∥b,∠1=40°,则∠2=(　　).
A.30° B.40° C.50° D.60°
B
2.(2024广东深圳)如图,一束平行光线照射平面镜后反射,若入射光线与平面镜夹角∠1=50°,则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为(　　).
A.40° B.50°
C.60° D.70°
B
3.(2023广东)如图,街道AB与CD平行,拐角∠ABC=137°,则拐角∠BCD=(　　).
A.43° B.53°
C.107° D.137°
D
4.(2022陕西)如图,AB∥CD,BC∥EF.若∠1=58°,则∠2的大小为(　　).
A.120° B.122°
C.132° D.148°
B
5.(2023广东深圳)如图为商场某品牌椅子的侧面简笔图,∠DEF=120°,DE与地面平行,∠ABD=50°,则∠ACB=(　　).
A.70°　　　　　
B.65°
C.60°
D.50°
A
考法·分类全析
考法1线段的有关计算
常要结合图形,借助于图形的直观形象,从图中看出各线段之间的关系或利用中点性质转化为线段之间的倍数关系.
例1已知点O在直线AB上,且线段OA的长度为4 cm,线段OB的长度为6 cm, E,F分别为线段OA,OB的中点,则线段EF的长度为　　　　　.
解析:本题有两种情况,如图所示.
图1
图2
根据中点的定义有图1中OE=2 cm,OF=3 cm,所以EF=OE+OF=5(cm);图2中OE=2 cm,OF=3 cm,所以EF=OF-OE=1(cm).
因此线段EF的长度为1 cm或5 cm.
答案:1 cm或5 cm
方法点拨 线段的长度计算常用的方法技巧
利用几何图形的直观性,寻找所求量与已知量的关系;利用线段中点的性质,进行线段长度转化;根据图形及已知条件,利用解方程的方法求解;分类讨论图形的多样性,注意所求结果的完整性.
考法2度、分、秒的换算与角的四则运算
1.度、分、秒是常用的角的度量单位.1度=60分,即1°=60';1分=60秒,即1'=60″.
2.具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明,角的度量单位度、分、秒之间也是60进制,将相邻的高级单位化为低级单位时,乘60,反之,将相邻的低级单位转化为高级单位时除以60.同时,在进行度、分、秒的运算时,也应注意借位和进位的方法.
例2直接将结果填到下列横线上:
(1)56.28°=　　　°　　　'　　　″;
(2)98°30'18″=　　　　°;
(3)123°29'29″+69°46'53″=　　　　　;
(4)141°19'3″-100°38'12″=　　　　　;
(5)41°16'37″×5=　　　　　　;
(6)97°31'48″÷6=　　　　　　.
解析:进行加减运算时,同单位相加减,即度与度相加减、分与分相加减、秒与秒相加减.做加法时,秒够60进1分,分够60进1度;做减法时,不够减的,从上一级借1,变成下一级单位后,加入下一级中再做减法运算.乘法运算中,从最低位开始乘所给的乘数,够60则进1;除法运算中,按从高到低的顺序相除.对于除不尽的,余数乘60,再加到下一级单位中进行计算.
答案:(1)56　16　48　(2)98.505　(3)193°16'22″
(4)40°40'51″　(5)206°23'5″　(6)16°15'18″
方法点拨 进行角度的运算时,在进位和借位的过程中,要始终注意度、分、秒都是60进制,不要与十进制和百进制相混淆.
考法3余角与补角
如果两个角的和等于90°(直角),那么就说这两个角互为余角,即其中一个角是另一个角的余角.如果两个角的和等于180°(平角),那么就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角,并且余角与补角具有性质:等角的补角相等,等角的余角相等.
余角和补角计算的应用,常常与等式的基本性质、等量代换相关联.余角(补角)与这两个角的位置没有关系,只要度数之和满足定义,它们就具备相应的关系.
例3若一个角的余角是这个角的补角的,则这个角的度数是(　　).
A.30° B.45° C.60° D.70°
解析:设这个角的度数为x°,则其余角是(90-x)°,其补角是(180-x)°.
由题意,得90-x=(180-x),解得x=45.
答案:B
方法点拨 两角互余,和为90°;两角互补,和为180°,据此列出关系式求解.
考法4相交线与垂线
在相交直线中,一个角的邻补角有两个.邻补角、对顶角都是相对于两个角而言的,指的是两个角的一种位置关系.它们都是在两直线相交的前提下形成的.
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
垂线具有性质:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.要注意的是“有且只有”中,“有”指“存在”,“只有”指“唯一”,“过一点”的点在直线上或直线外都可以.
例4如图4-13-3,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25°,求∠AOE和∠DOF的度数.
图4-13-3
解:∵OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25°,
∴∠AOE=90°-25°=65°,∠DOF=90°+25°=115°.
方法点拨 当已知两直线相交时,就能得到对顶角和邻补角;当已知两直线垂直时,就能得到直角.
考法5平行线的判定与性质
判定两直线平行的方法:(1)同位角相等,两直线平行;(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行;(4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行;(5)在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.
平行线具有性质:(1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补.
例5如图4-13-4,将一副三角尺按此方式摆放,点D在边AC上,BC∥EF,则∠ADE的大小为　　　　　.
答案:75°
方法点拨 当两直线平行时,根据“两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”会得到很多角的数量关系,灵活运用其中的数量关系,可以帮我们解决很多问题.
考法6命题、定理与证明
命题写成“如果……,那么……”的形式,这时,“如果”后面接的部分是条件,“那么”后面接的部分是结论.命题的“真”“假”是就命题的内容而言的.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而说明一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
例6(1)把命题“对顶角相等”写成“如果……,那么……”的形式:
　 .
(2)命题“若a>b,则a-b一定大于0”是　　　命题.
答案: (1)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等
(2)真
方法点拨 命题是由条件和结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.一般地,命题都可以写成“如果……,那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.
考点·巩固迁移
1.如图,点C,D是线段AB上两点,若CB=4 cm,DB=7 cm,且D是AC的中点,则AC的长等于(　　).
A.3 cm
B.6 cm
C.11 cm
D.14 cm
B
2.已知∠α=12°12',∠β=12.12°,∠γ=12.2°,则下列结论正确的是(　　).
A.∠α=∠β
B.∠α<∠β
C.∠α=∠γ
D.∠β >∠γ
C
3.下列命题中,其逆命题是真命题的是(　　).
A.对顶角相等
B.两直线平行,同位角相等
C.全等三角形的对应角相等
D.正方形的四个角相等
B
4.如图,已知两直线l1与l2被第三条直线l3所截,下列等式一定成立的是(　).
A.∠1=∠2
B.∠2=∠3
C.∠2+∠4=180°
D.∠1+∠4=180°
D
5.如图,直线a,b被直线c,d所截,下列条件能判定a∥b的是(　　).
A.∠1=∠3
B.∠2+∠4=180°
C.∠4=∠5
D.∠1=∠2
D
6.如图,点A,C,F,B在同一条直线上,CD平分∠ECB,FG∥CD.若∠ECA=a°,则∠GFB=　　　 　.(用关于a的代数式表示)
°
7.阅读下面五个命题,把真命题的序号全部填在横线上:
①五角星是中心对称图形;
②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;
③菱形四边中点的连线组成的四边形是矩形;
④垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
⑤在一个确定的等腰三角形中,底边上的任意一点(端点除外)到两腰的距离之和是一个定值.
真命题的序号有　　 　.
③⑤

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