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(共21张PPT)
第7讲　分式方程及其应用
第二单元
2026
内容索引
01
考点·梳理整合
02
考题·自测体验
03
考法·分类全析
04
考点·巩固迁移
考点·梳理整合
未知数
最简公分母
最简公分母
考题·自测体验
1.(2022辽宁铁岭)小明和小辉两人在公路上匀速骑行,小辉骑行28 km所用时间与小明骑行24 km所用时间相等,已知小辉每小时比小明多骑行2 km,小辉每小时骑行多少千米 设小辉每小时骑行x km,所列方程正确的是(　).
A.
B.
C.
D.
D
2.(2024广东)方程的解是(　　).
A.x=-3 B.x=-9
C.x=3 D.x=9
3.(2022黑龙江齐齐哈尔)若关于x的分式方程的解大于1,则m的取值范围是　　　　　　　　.
4.(2021广西北部湾)解分式方程:+1.
D
m>0且m≠1
解:左右两边同乘3(x+1),得3x=x+3(x+1),3x=x+3x+3,x=-3.
经检验,当x=-3时,3(x+1)≠0,原方程成立.
故解为x=-3.
5.(2023广东)某学校开展了社会实践活动,活动地点距离学校12 km,甲、乙两名同学骑自行车同时从学校出发,甲的速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早到10分钟,求乙同学骑自行车的速度.
解:设乙骑自行车的速度为x km/h,则甲骑自行车的速度为1.2x km/h,
根据题意得,解得x=12.
经检验,x=12是原方程的解.
答:乙骑自行车的速度为12 km/h.
考法·分类全析
考法1解分式方程
解分式方程的基本思路就是将分式方程转化为整式方程,通常可采用方程两边同乘最简公分母的方式求解,有些繁杂的方程可采用换元法.
例1解分式方程:=1.
解:方程两边同乘(x+3)(x-3),
得(x-2)(x-3)-3(x+3)=(x+3)(x-3).
去括号,得x2-5x+6-3x-9=x2-9.
解得x=.
经检验,当x=时,(x+3)(x-3)≠0,
所以x=是分式方程的解.
方法点拨 解分式方程时应注意以下两点:(1)去分母时,要将最简公分母乘每一项,不要“漏乘”;(2)解分式方程时必须检验,检验时只要代入最简公分母看其是不是0即可,若能使最简公分母为0,则是原方程的增根.
考法2分式方程的增根
利用增根求分式方程中字母的值:(1)确定增根;(2)将原分式方程化成整式方程;(3)将增根代入变形后的整式方程,求出字母的值.
例2若分式方程-1=有增根,则m的值为(　　).
A.0或3 B.1
C.1或-2 D.3
解析:由(x-1)(x+2)=0可知增根可能是x=1或x=-2,把方程两边同乘
(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=m.
当x=1时,得m=3.
当x=-2时,得m=0,此时方程变为-1=0,即x=x-1,方程无解,故m=0舍去.
故当m=3时,原方程有增根x=1.
答案:D
方法点拨 在解决与增根有关的问题时,应先将分式方程去分母,转化为整式方程,再将可能为增根的未知数的值代入,即可求出待定字母的值.还要注意:在分式方程中,有增根与无解并非同一个概念,无解既包含产生增根这一情况,也包含原方程去分母后的整式方程无解.
考法3分式方程的应用
解题步骤同其他方程一样.但在列分式方程解应用题时必须做好两个检验,既要检验是不是原方程的根,又要检验是否符合题意.
例3某火车站北广场准备投入使用,已知广场内种植A,B两种花木共6 600棵,且A花木数量比B花木数量的2倍少600棵.
(1)A,B两种花木的数量分别是多少
(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木,每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵,应分别安排多少人种植A花木和B花木,才能确保同时完成各自的任务
解:(1)设B花木的数量是x棵,则A花木的数量是(2x-600)棵.根据题意,得x+(2x-600)=6 600,解得x=2 400,2x-600=4 200.
答:A花木的数量是4 200棵,B花木的数量是2 400棵.
(2)设应安排y人种植A花木,则安排(26-y)人种植B花木.
根据题意,得.解得y=14.
经检验,y=14是原方程的根,且符合题意.
26-y=12.
答:应安排14人种植A花木,安排12人种植B花木,才能确保同时完成各自的任务.
方法点拨 列分式方程解决实际问题的关键是找到“等量关系”,将实际问题抽象为方程问题.
考点·巩固迁移
1.分式方程=1的解为(　　).
A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=-2
2.若分式的值不存在,则x=　　　　.
3.解方程:x-3+=0.
A
-1
解:原方程可化为(x-3)(x+3)+(6x-x2)=0,
即x2-9+6x-x2=0,解得x=.
经检验,x=是原分式方程的解.
故原方程的解是x=.
4.某工厂计划在规定时间内生产24 000个零件,若每天比原计划多生产30个零件,则在规定时间内可以多生产300个零件.
(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数.
(2)为了提前完成生产任务,工厂在安排原
有工人按原计划正常生产的同时,引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产.已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%,按此测算,恰好提前两天完成24 000个零件的生产任务,求原计划安排的工人人数.
解:(1)设原计划每天生产的零件个数是x,
由题意得.
解得x=2 400.
经检验,x=2 400是原方程的根,且符合题意.
因此规定的天数为24 000÷2 400=10.
答:原计划每天生产的零件个数是2 400,规定的天数是10.
(2)设原计划安排的工人人数为y.由题意,得
×(10-2)=24 000,解得y=480.
经检验,y=480是原方程的根,且符合题意.
答:原计划安排的工人人数为480.

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