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(共32张PPT)
第5讲　一次方程(组)及其应用
第二单元
2026
内容索引
01
考点·梳理整合
02
考题·自测体验
03
考法·分类全析
04
考点·巩固迁移
考点·梳理整合
一
两
工作时间
+
考题·自测体验
1.(2021广东深圳节选)有一个问题:一亩好田是300元,七亩坏田是500元,一人买了好田和坏田一共是100亩(1亩≈666.7 m2),花费了10 000元,问他买了好田和坏田各多少亩 设买好田x亩,坏田y亩,根据题意列方程组得(　　).
　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
B
2.(2024广东深圳节选)在明朝有诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗的大意是:一些客人到李三公的店中住宿,如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.设该店有客房x间,房客y人,则可列方程组为(　　).
A. B.
C. D.
A
3.(2024广东广州)某新能源车企今年5月交付新车35 060辆,且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1 100辆.设该车企去年5月交付新车x辆,根据题意,可列方程为(　　).
A.1.2x+1 100=35 060
B.1.2x-1 100=35 060
C.1.2(x+1 100)=35 060
D.x-1 100=35 060×1.2
A
4.(2022黑龙江绥化)某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学,花费48元购买了甲、乙两种奖品,每种奖品至少购买1件,其中甲种奖品每件4元,乙种奖品每件3元.则共有　　　　　种购买方案.
5.(2021山东泰安节选)《九章算术》中记载一个问题,其大意是:“今有甲乙二人,不知其钱包里有多少钱,若乙把自己一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把自己的钱给乙,则乙的钱数也为50.问甲、乙各有多少钱 ”设甲的
钱数为x,乙的钱数为y,根据题意,可列方程组为　　　　　　　　　　　.
3
6.(2022四川雅安)某商场购进A,B两种商品,已知购进3件A商品和5件B商品费用相同,购进3件A商品和1件B商品总费用为360元.
(1)求A,B两种商品每件进价各为多少元(列方程或方程组求解).
(2)若该商场计划购进A,B两种商品共80件,其中A商品m件.若A商品按每件150元销售,B商品按每件80元销售,求销售完A,B两种商品后获得总利润w(元)与m(件)之间的函数关系式.
解:(1)设A商品每件的进价为x元,B商品每件的进价为y元.根据题意得解得
答:A商品每件的进价为100元,B商品每件的进价为60元.
(2)∵A商品m件,
∴B商品(80-m)件,
∴w=(150-100)m+(80-60)(80-m)=30m+1 600.
考法·分类全析
考法1一元一次方程的解法
解一元一次方程分为五步:去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1,要根据方程的具体情况灵活运用.
例1解方程:-1.
解:去分母,得4(x+1)=5(x+1)-6.
去括号,得4x+4=5x+5-6.
移项,得4x-5x=5-6-4.
合并同类项,得-x=-5.
未知数的系数化为1,得x=5.
方法点拨 解一元一次方程时,首先要清楚基本方法与一般步骤,明确每步的理论依据,根据其特点选用解题方法.
考法2二元一次方程组的有关概念
二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解.方程组的解一定使方程组中每个方程成立.在已知一组值是方程组的解时,可直接代入原方程组,得到以待定系数为未知数的方程(组).
例2已知是关于x,y的二元一次方程组的解,则2m-n的算术平方根为(　　).
A.4 B.2 C. D.±2
解析:由是关于x,y的二元一次方程组的解,可知解得
故=2.
答案:B
方法点拨 方程组的解满足方程组中的每一个方程,把它代入原方程组,就会得到一个新的方程组,解新方程组即可得出待定系数的值.
考法3二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思路是通过消元,将二元一次方程组转化为一元一次方程.最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法,具体应用时,要结合方程组的特点,灵活运用消元方法.如果出现未知数的系数为1或-1,那么宜用代入消元法;如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较复杂,那么宜用加减消元法.
例3解方程组:
解:原方程组可化为5x-11y=-1,-x+5y=3, ①②
由②,得x=5y-3,③
把③代入①,得5(5y-3)-11y=-1,解得y=1.
把y=1代入③,得x=5-3=2.
所以原方程组的解是x=2,y=1.
方法点拨 本题中的方程组在整理成一般形式后也可采用加减消元法继续求解.大多数二元一次方程组采用加减消元法求解较为简便.
考法4列方程(组)解决实际问题
在列一次方程(组)解决实际问题时,有些问题列一元一次方程解决较易;有些问题列二元一次方程组解决较易.这需要我们在解题时认真分析,选择较简单的方法.
解法一:设有x支篮球队参赛,则有(48-x)支排球队参赛.依题意,得10x+12(48-x)=520.
解得x=28.
48-x=48-28=20.
答:篮球队、排球队分别有28支、20支参赛.
解法二:设有x支篮球队和y支排球队参赛.
依题意,得解得
答:篮球队、排球队分别有28支、20支参赛.
例4有48支球队共520名运动员参加篮球、排球比赛,其中每支篮球队10人,每支排球队12人,每名运动员只能参加一项比赛,篮球队、排球队各有多少支参赛
方法点拨 列一次方程(组)解应用题是中考命题的重要内容之一.解决此类问题,正确列出方程(组)是关键,也是难点.在复杂问题中,我们常用列表格、画线段图等方法找出题中的数量关系,建立合适的方程(组),同时也可以采用设间接未知数,或设辅助未知数等方法列方程(组).
考点·巩固迁移
1.方程组的解是(　　).
A. B.
C. D.
D
2.解方程:5x=3(x-4).
解:5x=3x-12,5x-3x=-12,2x=-12,x=-6.
3.解方程组:
解:把①代入②,得x+x-4=6,解得x=5.
将x=5代入①,得y=1.
故原方程组的解为
4.解方程:-1.
解:去分母,得4(2x-1)-2(10x+1)=3(2x+1)-12.
去括号,得8x-4-20x-2=6x+3-12.
移项,得8x-20x-6x=3-12+4+2.
合并同类项,得-18x=-3.
未知数的系数化为1,得x=.
5.解方程组:
解:①+②,得5x=10,解得x=2.
将x=2代入①,得y=4.
故原方程组的解为
6.食品安全是老百姓关注的话题.某饮料加工厂生产的A,B两种饮料均需加入同种添加剂,A饮料每瓶需加该添加剂2 g,B饮料每瓶需加该添加剂3 g,已知生产A,B两种饮料共100瓶,共需该添加剂270 g,问A,B两种饮料各生产了多少瓶
解法一:设A饮料生产了x瓶,则B饮料生产了(100-x)瓶.
依题意,得2x+3(100-x)=270.
解得x=30,100-x=70.
答:A饮料生产了30瓶,B饮料生产了70瓶.
解法二:设A饮料生产了x瓶,B饮料生产了y瓶.
依题意,得解得
答:A饮料生产了30瓶,B饮料生产了70瓶.
7.某超市为促销,决定对A,B两种商品实行打折出售.打折前,买6件A商品和3件B商品需用54元,买3件A商品和4件B商品需用32元.打折后,买50件A商品和40件B商品仅需384元,这比打折前少花多少钱
解:设A,B两种商品打折前的单价分别是x元、y元.
由题意,得解得
50×8+40×2=480(元),480-384=96(元).
答:这比打折前少花96元.

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