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(共41张PPT)
第12讲　二次函数
第三单元
2026
内容索引
01
考点·梳理整合
02
考题·自测体验
03
考法·分类全析
04
考点·巩固迁移
考点·梳理整合
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
(h,k)
减小
增大
增大
减小
2.二次函数图象的平移
因为抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数a确定,所以两个二次函数中,如果a相等,那么其中一个函数的图象可以由另一个函数的图象平移得到.
y=a(x-h)2+k 移动方向 平移后的表达式 简记
向左平移m个单位长度 y=a(x-h+m)2+k 左加
向右平移m个单位长度 y=a(x-h-m)2+k 右减
向上平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k+m 上加
向下平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k-m 下减
3.抛物线y=ax2+bx+c与系数a,b,c的关系
系数 字母的符号及取值范围 图象的特征
a a>0 开口　　　
a<0 开口　　　
b b=0 对称轴为y轴
ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧
ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 经过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
向上
向下
4.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的转化 根的判别式的情况 实数根的情况
二次函数y=ax2+bx+c,当y=0时,得一元二次方程ax2+bx+c=0 b2-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个不相等的实数根
b2-4ac=0 抛物线与x轴有一个交点,x=-是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个相等的实数根,即x1=x2=-
b2-4ac<0 抛物线与x轴没有交点,即方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根
考题·自测体验
1.(2021广东深圳)二次函数y=ax2+bx+1与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　).
A
2.(2023广东)如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为(　　).
A.-1 B.-2
C.-3 D.-4
3.(2024广东)若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x2的图象上,则(　　).
A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
B
A
4.(2024广东广州)函数y1=ax2+bx+c与y2=的图象如图所示,当(　　)时,y1,y2均随着x的增大而减小.
A.x<-1
B.-1C.0D.x>1
D
考法·分类全析
考法1二次函数的概念
变量y是x的二次函数的关键:化简后的关于自变量的代数式是整式,且x的指数最高为2,二次项的系数不能为0.
例1若y=(2-m)是二次函数,则m的值是(　　).
A.2 B.0
C.-2 D.2或-2
解析:根据题意有m2-2=2,且2-m≠0,故解得m=-2.
答案:C
误区警示 二次函数中二次项系数不为0这个条件是不能忽略的.
考法2二次函数的图象
1.理解二次函数的图象的关键有抛物线的开口方向、对称轴的位置、顶点所在的象限、与x轴和y轴的交点坐标.
2.根据抛物线在平面直角坐标系中的位置可确定a,b,c的符号及取值范围,抛物线与x轴的交点个数决定b2-4ac的符号及取值范围.
例2已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3-12-1,则反比例函数y=-与一次函数y=bx-c在同一平面直角坐标系内的图象大致是(　　).
解析:观察题中二次函数图象可知,开口向上,a>0;对称轴为直线
x=->0,b<0;二次函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上,c>0.
因为反比例函数中-a<0,所以反比例函数图象在第二、第四象限内;因为一次函数y=bx-c中,b<0,-c<0,所以一次函数图象经过第二、第三、第四象限.
答案:C
方法点拨 根据二次函数的图象得出a,b,c的符号及取值范围,进而判断一次函数与反比例函数的图象经过的象限.
考法3二次函数的性质
1.结合图象的开口方向和对称轴可判断二次函数的增减性;结合图象的开口方向和顶点的纵坐标可判断二次函数的最值.
2.已知点A(a,b)和B(c,b)是抛物线上两点,由于它们的纵坐标相同,故这条抛物线的对称轴是直线x=.
例3对于二次函数y=-x2+2x,有下列四个结论:
①它的图象的对称轴是直线x=1;
②设y1=-+2x1,y2=-+2x2,则当x2>x1时,有y2>y1;
③它的图象与x轴的两个交点的坐标是(0,0)和(2,0);
④当00.
其中正确结论的个数为(　　).
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:y=-x2+2x=-(x-1)2+1,由此可得
①它的图象的对称轴是直线x=1,正确;
②因为对称轴x=1两旁部分增减性不一样,所以②错误;
③当y=0时,x(-x+2)=0,解得x1=0,x2=2,故该二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标是(0,0)和(2,0),正确;
④由a=-1<0,知抛物线开口向下,又与x轴的两个交点的坐标是(0,0)和(2,0),所以当00,正确.
答案:C
方法点拨 由抛物线在平面直角坐标系中的位置,容易确定a,b,c的符号及取值范围,由数形结合思想,易判断函数的增减性,抛物线是轴对称图形,知道对称轴及抛物线与x轴的一个交点坐标,很容易知道它与x轴的另一个交点的坐标,从而可轻松地判断相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根的情况.
考法4确定二次函数的表达式
1.用待定系数法确定二次函数表达式的关键是设出适合题意的表达式,这样也能优化解题过程.如知道某抛物线的对称轴或最低(高)点,则可设顶点式.
2.确定抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)平移后对应的函数的表达式的关键是确定平移后的顶点的坐标.
例4设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线x=2上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,则抛物线的函数表达式为　 .
解析:由点C在直线x=2上,且到抛物线的对称轴的距离等于1,可知抛物线的对称轴为直线x=1或x=3.
当对称轴为直线x=1时,设抛物线表达式为y=a(x-1)2+k,
则解得故y=(x-1)2+.
当对称轴为直线x=3时,设抛物线表达式为y=a(x-3)2+k,
则解得故y=-(x-3)2+.
答案:y=(x-1)2+或y=-(x-3)2+
方法点拨 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,用待定系数法求二次函数表达式,根据点C的位置分情况讨论确定对称轴,然后设出抛物线表达式,再把点A,B的坐标代入求解即可.
易错提醒 本题抛物线的对称轴有两种情况,容易忽略.
考法5二次函数、方程、不等式的联系
1.从图象上看,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根可以看作抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标,也可以看作抛物线y=ax2+bx(a≠0)与直线y=-c的交点的横坐标.
2.从图象上看,不等式ax2+bx+c>0(<0)的解集可以看作x轴上方(下方)的抛物线对应的自变量的取值范围.
例5二次函数y=-x2+2x+4的图象如图3-12-2,使y≤1成立的x的取值范围
是(　　).
A.-1≤x≤3
B.x≤-1
C.x≥1
D.x≤-1或x≥3
解析:由题图象可知,当y≤1时,x≤-1或x≥3.故选D.
答案:D
方法归纳 本题考查了二次函数与不等式的关系,考查了数形结合的数学思想.
考法6二次函数的应用
用二次函数解决实际问题中的最优化问题,如经济问题中的最大利润、运输中的最低费用、几何问题中的最大面积等,其实质就是利用函数的图象和性质求函数的最大值或最小值,其关键是将实际问题“数学化”,即吃透题意、确定变量、建立函数模型.
例6某种商品每天的销售利润y(单位:元)与销售单价x(单位:元)之间满足关系:y=ax2+bx-75,其图象如图3-12-3.
(1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大 最大利润为多少元
(2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元
解:(1)由二次函数y=ax2+bx-75的图象过点(5,0),(7,16),可得解得
所以y=-x2+20x-75=-(x-10)2+25(5≤x≤15),即当x=10时,y最大=25.
故当销售单价为10元时,该种商品每天的销售利润最大,最大利润为25元.
(2)由函数y=-x2+20x-75图象的对称轴为直线x=10,可知点(7,16)关于对称轴对称的点是(13,16).
又函数y=-x2+20x-75图象开口向下,
所以当7≤x≤13时,y≥16.故当销售单价不少于7元且不超过13元时,该种商品每天的销售利润不低于16元.
方法点拨 本题考查了二次函数的应用,利用待定系数法求函数表达式,利用顶点坐标求最值,利用对称点以及图象确定不等式的解集.
考点·巩固迁移
1.在特定条件下,“可食用率”p与臭豆腐加工煎炸的时间t(单位:min)近似满足函数关系式:p=at2+bt+c(a≠0,a,b,c为常数),如图,记录了三次实验数据.根据上述函数关系和实验数据,可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(　).
A.3.50 min
B.4.05 min
C.3.75 min
D.4.25 min
C
2.已知a≠0,函数y=与y=-ax2+a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　).
D
3.二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为(-1,n),其部分图象如图所示.以下结论错误的是(　　).
A.abc>0
B.4ac-b2<0
C.3a+c>0
D.关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根
C
4.抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,0),(3,0),且与y轴交于点(0,-5),则当x=2时,y的值为(　　).
A.-5 B.-3
C.-1 D.5
A
5.如图,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=1,且经过点(-1,0),给出下列结论:①abc<0;②2a-b=0;③a<-;④若方程ax2+bx+c-2=0的两个根为x1和x2,则(x1+1)(x2-3)<0.正确的有　　　　.(填序号)
①③④
6.某科技公司销售高科技产品,该产品成本为8万元/件,销售价格x(x≥8,单位:万元/件)与销售量y(单位:件)的关系如下表所示:
x/(万元/件) … 10 12 14 16 …
y/件 … 40 30 20 10 …
(1)求y与x的函数关系式;
(2)当销售价格为多少时,有最大利润,最大利润为多少
解:(1)由题意可知y与x是一次函数关系.
设这个一次函数为y=kx+b(k≠0).
∵这个一次函数的图象经过点(10,40),(12,30),
∴解得
∴y与x的函数关系式为y=-5x+90(8≤x<18).
(2)设利润为W万元,则W=(x-8)(-5x+90)=-5x2+130x-720
=-5(x-13)2+125(8≤x<18).
∵-5<0,∴当x=13时,W取最大值,最大值为125.
综上所述,当销售价格为13万元/件时,有最大利润,最大利润为125万元.

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