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(共30张PPT)
第10讲　一次函数
第三单元
2026
内容索引
01
考点·梳理整合
02
考题·自测体验
03
考法·分类全析
04
考点·巩固迁移
考点·梳理整合
0
减小
(0,b)
考题·自测体验
1.(2022广东)水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,且圆的周长C与r的关系式为C=2πr,下列判断正确的是(　　).
A.2是变量 B.π是变量
C.r是变量 D.C是常量
2.(2021安徽)某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的码数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm,44码鞋子的长度为27 cm,则38码鞋子的长度为(　　).
A.23 cm B.24 cm C.25 cm D.26 cm
C
B
3.(2024广东)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y=kx+b的图象大致是(　　).
B
4.(2023广东)(1)计算:+|-5|+(-1)2 023;
(2)已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0,1)与点(2,5),求该一次函数的表达式.
解:(1)原式=2+5-1=6.
(2)将(0,1)与(2,5)代入y=kx+b得解得故一次函数的表达式为y=2x+1.
5.(2021江苏连云港)某学校准备购进一批消毒液.已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元,5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元.
(1)这两种消毒液的单价各是多少元
(2)学校准备购进这两种消毒液共90瓶,且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的,请设计出最省钱的购买方案.
解:(1)设A型消毒液的单价是x元,B型消毒液的单价是y元,解得
答:A型消毒液的单价是7元,B型消毒液的单价是9元.
(2)设购进A型消毒液a瓶,则购进B型消毒液(90-a)瓶,依题意,设购买消毒液所需费用为w元,则w=7a+9(90-a)=-2a+810,
∵-2<0,∴w随a的增大而减小.
∵B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的,∴90-a≥a,解得a≤67.
∵a为整数,∴当a=67时,w取得最小值,90-a=90-67=23.
答:最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶,购进B型消毒液23瓶.
考法·分类全析
考法1一次函数的图象与性质
1.一次函数y=kx+b的图象是经过与(0,b)两点的一条直线.
2.若k>0,b>0,则图象经过第一、第二、第三象限;若k>0,b<0,则图象经过第一、第三、第四象限;若k<0,b>0,则图象经过第一、第二、第四象限;若k<0,b<0,则图象经过第二、第三、第四象限.
3.一次函数y=kx+b中,k的符号决定它的增减性,反之,一次函数的增减性确定k的符号.
例1若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是(　　).
解析:根据一元二次方程根的判别式判断出k,b的符号.
Δ=(-2)2-4×1×(kb+1)=-4kb.
因为方程有两个不相等的实数根,即Δ>0,所以kb<0,有两种情况:k>0,b<0或k<0,b>0,再结合函数图象可知只有选项B中图象符合.
答案:B
方法点拨 若一次函数的图象经过第一、第三象限,则k>0;若一次函数的图象经过第二、第四象限,则k<0;若一次函数的图象与y轴交于正半轴,则b>0;若一次函数的图象与y轴交于负半轴,则b<0.
考法2用待定系数法确定一次函数表达式
利用待定系数法求一次函数表达式时通常要有两个独立的条件,如图象上两个点的坐标,或x,y的两对对应值.
例2已知y是x的一次函数,当x=3时,y=1;当x=-2时,y=-4,求这个一次函数的表达式.
解:设所求一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0).将x=3,y=1和x=-2,y=-4分别代入y=kx+b,得解这个方程组,得
故这个一次函数的表达式为y=x-2.
方法点拨 用待定系数法求函数表达式:(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的表达式时,先设y=kx+b(k≠0);(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y代入所设的表达式,得到关于待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数表达式.
考法3一次函数的应用
1.在解决实际问题时要注意函数自变量的取值范围以及结合函数的图象分析.
2.因为函数的图象反映的是在一个事件变化过程中两个变量之间的关系,因此,利用函数图象分析实际问题时,必须要读懂函数图象的横轴、纵轴以及关键点坐标的实际意义.
例3山地自行车越来越受到中学生的喜爱,各种品牌相继投放市场,某车行经营的A型车去年销售总额为5万元,今年每辆售价比去年降低400元,若卖出的数量相同,则销售总额将比去年减少20%.
(1)今年A型车每辆售价多少元 (用列方程的方法解答)
(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,应如何进货才能使这批车获利最多
A,B两种型号车的进货价格和销售价格如下表:
型号 A型车 B型车
进货价格/(元/辆) 1 100 1 400
销售价格/(元/辆) 今年的销售价格 2 000
解:(1)设今年A型车每辆售价x元,则去年每辆售价为(x+400)元.
由题意,得,解得x=1 600.
经检验,x=1 600是原方程的根.
答:今年A型车每辆售价1 600元.
(2)设今年新进A型车a辆,则新进新款B型车(60-a)辆,获利y元.
由题意,得y=(1 600-1 100)a+(2 000-1 400)·(60-a)=-100a+36 000.
由B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,
可知60-a≤2a,故a≥20.
∵y=-100a+36 000,-100<0,∴y随a的增大而减小.∴当a=20时,y最大=34 000,此时B型车的数量为60-20=40(辆).故当新进A型车20辆,B型车40辆时,这批车获利最多.
方法点拨 本题考查了列分式方程解实际问题的运用,一次函数的表达式的运用,解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的表达式是关键.
考点·巩固迁移
1.下列y关于x的函数中,是正比例函数的为(　　).
A.y=x2 B.y= C.y= D.y=
2.一次函数y=kx+b的图象经过点A(-3,0),点B(0,2),那么该图象不经过的象限是(　　).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是(　　).
A.(0,-4) B.(0,4) C.(2,0) D.(-2,0)
C
D
B
4.若函数y=kx-b的图象如图所示,则关于x的不等式k(x-3)-b>0的解集为(　).
A.x<2
B.x>2
C.x<5
D.x>5
C
5.某人购进一批苹果到农贸市场售卖,已经卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示,成本为5元/kg,现以8元/kg卖出,挣得　　　　　元.
6 600
6.小丽的家和学校在一条笔直的马路旁,某天小丽沿着这条马路上学,先从家步行到公交站台甲,再乘车到公交站台乙下车,最后步行到学校(在整个过程中小丽步行的速度不变).图中折线ABCDE表示小丽和学校之间的距离y(m)与她离家时间x(min)之间的函数关系.
(1)求小丽步行的速度及学校与公交站台乙之间的距离;
(2)当8≤x≤15时,求y与x之间的函数表达式.
解:(1)小丽步行的速度为=50(m/min);学校与公交站台乙之间的距离为50×(18-15)=150(m).
(2)由题意可知线段CD的两个端点分别为C(8,3 650),D(15,150).
设当8≤x≤15时,小丽和学校之间的距离y与她离家时间x之间的函数表达式为y=kx+b,
则解得
故y=-500x+7 650(8≤x≤15).
7.某花卉基地出售两种盆栽花卉:太阳花6元/盆,绣球花10元/盆.若一次购买的绣球花超过20盆,则超过20盆部分的绣球花价格打8折.
(1)分别写出太阳花和绣球花的付款金额y1,y2(单位:元)关于购买量x1,x2(单位:盆)的函数表达式.
(2)为了美化环境,某小区计划到该基地购买这两种花卉共90盆,其中太阳花数量不超过绣球花数量的一半.两种花卉各买多少盆时,总费用最少 最少费用是多少元
解:(1)由题意知,太阳花的付款金额y1关于购买量x1的函数表达式是y1=6x1(x1≥0);
①当一次购买的绣球花不超过20盆时,付款金额y2关于购买量x2的函数表达式是y2=10x2(0≤x2≤20);
②当一次购买的绣球花超过20盆时,付款金额y2关于购买量x2的函数表达式是y2=10×20+10×0.8×(x2-20)=200+8x2-160=8x2+40(x2>20).
综上,可得绣球花的付款金额y2关于购买量x2的函数表达式是y2=
(2)根据题意,可得太阳花数量不超过90×=30(盆),
所以绣球花的数量不少于90-30=60(盆).
设太阳花的数量是m(0则w=6m+[8(90-m)+40]=760-2m.
因为0答:当购买太阳花30盆,绣球花60盆时,总费用最少,最少费用是700元.

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