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(共31张PPT)
第6讲　一元二次方程及其应用
第二单元
2026
内容索引
01
考点·梳理整合
02
考题·自测体验
03
考法·分类全析
04
考点·巩固迁移
考点·梳理整合
一
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=
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考题·自测体验
1.(2021河南)若方程x2-2x+m=0没有实数根,则m的值可以是(　　).
A.-1 B.0 C.1 D.
2.(2022黑龙江哈尔滨)某种商品原来每件售价为150元,经过连续两次降价后,该种商品每件售价为96元,设平均每次降价的百分率为x,根据题意,所列方程正确的是(　　).
A.150(1-x2)=96
B.150(1-x)=96
C.150(1-x)2=96
D.150(1-2x)=96
D
C
3.(2021湖北武汉)已知a,b是方程x2-3x-5=0的两根,则代数式
2a3-6a2+b2+7b+1的值是(　　).
A.-25 B.-24
C.35 D.36
4.(2021广东)若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c为常数)的两根x1,x2满足
-35.(2024广东深圳)一元二次方程x2-3x+a=0的一个解为x=1,则a=　　　　.
6.(2022湖北孝感)若一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是x1,x2,则x1x2的值是　　　　　.
D
x2-4=0(答案不唯一)
2
3
7.(2022湖北随州)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1x2=5,求k的值.
解:(1)根据题意得Δ=(2k+1)2-4(k2+1)>0.
解得k>.
(2)根据题意得x1x2=k2+1,
∵x1x2=5,∴k2+1=5,
解得k1=-2,k2=2.
由(1)知k>,∴k=2.
考法·分类全析
考法1一元二次方程的有关概念
一元二次方程的定义包含三个必须满足的条件:整式方程,只含有一个未知数,未知数的最高次数是2.
例1已知(m-1)x|m|+1+3x-2=0是关于x的一元二次方程,求m的值.
解:依题意,得|m|+1=2,即|m|=1,
解得m=±1.
又m-1≠0,所以m≠1.
故m=-1.
方法点拨 解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义,特别是二次项系数不为零这一隐含条件.
考法2一元二次方程的解法
一元二次方程的基本解法有四种:(1)直接开方法;(2)因式分解法;(3)配方法;(4)公式法.在解一元二次方程时首先看能否运用直接开平方法,再看能否运用因式分解法,公式法适用于所有的一元二次方程的求解.
例2解方程:(x-3)2+4x(x-3)=0.
解法一:方程左边因式分解,
得(x-3)(x-3+4x)=0,即(x-3)(5x-3)=0,
解得x-3=0或5x-3=0,即x1=3,x2=.
解法二:原方程整理,得5x2-18x+9=0.
∵Δ=(-18)2-4×5×9=144>0,
∴x=.
∴x1=3,x2=.
方法点拨 此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择.要根据方程的结构特点、系数(或常数)之间的关系灵活选择解法,解题时要讲究技巧,尽量保证准确、迅速.
考法3一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数)根的判别式为Δ=b2-4ac,其意义在于不解方程可以直接根据判别式判别根的情况:(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当Δ<0时,方程无实数根.还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围.
例3若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是(　　).
A.k> B.k≥
C.k>,且k≠1 D.k≥,且k≠1
解析:由关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有两个不相等的实数根,可知Δ=22-4(k-1)(-2)>0,且k-1≠0,解得k>,且k≠1.
答案:C
方法点拨 一元二次方程根的判别式的应用主要有以下两种情况:(1)不解方程,判别根的情况;(2)根据方程根的情况,确定方程系数中字母的取值范围.
考法4一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系的应用:(1)已知一根,求另一根及未知系数;(2)不解方程,求与方程两根有关的代数式的值;(3)已知两数,求以这两数为根的方程;(4)已知两数的和与积,求这两个数;(5)确定根的符号.
例4已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若|x1+x2|=x1x2-1,求k的值.
解:(1)依题意,得Δ=[-2(k-1)]2-4k2≥0,
解得k≤.
(2)由根与系数的关系,得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2,
由(1)可知k≤,得2(k-1)<0,即x1+x2<0.
由题意得-2(k-1)=k2-1,解得k1=1,k2=-3.
因为k≤,所以k=-3.
方法点拨 研究一元二次方程根与系数的关系的前提:(1)a≠0,(2)b2-4ac≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时,必须要考虑这一前提.
考法5列一元二次方程解实际问题
列一元二次方程解应用题的关键是在充分理解题意的基础上,寻求题中的等量关系,从而建立方程.增长率问题和利润问题是最常见的类型.
例5某运动商城的自行车销售量自今年1月起逐月增加,据统计,该商城1月销售自行车64辆,3月销售了100辆.
若该商城今年前4个月自行车销量的月平均增长率相同,问该商城4月卖出多少辆自行车
解:设该商城前4个月自行车销量的月平均增长率为x.根据题意,得64(1+x)2=100.
解得x=-225%(不合题意,舍去)或x=25%.
100×(1+25%)=125(辆).
答:该商城4月卖出125辆自行车.
方法点拨 此题是一道典型的增长率问题,主要考查列一元二次方程解应用题.解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程.最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义,不符合的要舍去.
考点·巩固迁移
1.若x=-2是关于x的一元二次方程x2-ax+a2=0的一个根,则a的值为(　　).
A.1或4 B.-1或-4
C.-1或4 D.1或-4
2.已知关于x的一元二次方程2x2-5x+c=0有两个相等的实数根,则c=　　.
3.若方程x2-2x-1=0的两根分别为x1,x2,则 x1+x2-x1x2的值为　　　　.
4.方程x2-4x=0的解是　　　　　　.
B
3
x1=0,x2=4
5.用配方法解一元二次方程:2x2+1=3x.
解:移项,得2x2-3x=-1.
二次项系数化为1,得x2-x=-.
配方,得.x-=±.
解得x1=1,x2=.
6.小明用下面的方法求出方程2-3=0的解,请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解,并把你的解答过程填写在下面的表格中.
方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解
2-3=0 令=t(t≥0), 则2t-3=0 t= 因为t=≥0 ,所以x=
x+2-3=0
x+-4=0
解:
方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解
x+2-3=0 令=t(t≥0),则t2+2t-3=0 t1=-3, t2=1 因为t1=-3<0,舍去 所以t=1,则x=1
x+-4=0 令=t(t≥0),则t2+t-2=0 t1=-2, t2=1 因为t1=-2<0,舍去 所以t=1,则x=3
7.如图,某工人师傅要在一块面积为15 m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面,且要使大正方形的边长比小正方形的边长长1 m,求裁剪后剩下的阴影部分的面积.
解:设大正方形的边长为x m,则小正方形的边长为(x-1)m.
根据题意,得x(2x-1)=15.
解得x1=3,x2=-(不合题意,舍去).
故小正方形的边长为3-1=2(m),裁剪后剩下的阴影部分的面积为
15-22-32=2(m2).
8.商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律,请回答:
(1)商场日销售量增加　　　件,每件商品盈利　　　　　元(两空均用含x的代数式表示);
(2)在上述条件不变且销售正常的情况下,每件商品降价多少元时,商场销售该种商品日盈利可达到2 100元
解:(1)2x　(50-x)
(2)由题意,得(50-x)(30+2x)=2 100.
化简,得x2-35x+300=0,解得x1=15,x2=20.
由该商场要尽快减少库存,可知x=20.
答:每件商品降价20元,商场销售该种商品日盈利可达2 100元.

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