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(共24张PPT)
第4讲　二次根式
第一单元
2026
内容索引
01
考点·梳理整合
02
考题·自测体验
03
考法·分类全析
04
考点·巩固迁移
考点·梳理整合
考点一 二次根式的概念
1.概念:一般地,形如(　　　　　)的式子叫做二次根式.
注意:二次根式具有双重非负性:即　　　0,a　　　0.
2.几个重要性质
(1)()2=　　　(a≥0).
(2)=　　　=
(3)=　　　　　(a≥0,b≥0).
(4)=　　　　　(a≥0,b>0).
a≥0
≥
≥
a　
|a|　
a　
-a　
3.最简二次根式:
一般地,被开方数不含分母,也不含　　　　　　的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
4.同类二次根式:
概念:几个二次根式化成　　　　　　　后,如果　　　　　　　相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式.
能开得尽方
最简二次根式
被开方数
考点二 二次根式的运算
1.加减运算:先将二次根式化简,再将　　　　二次根式进行合并,合并的方法与合并同类项法则相同.
2.乘除运算
(1)乘法法则:=　　　(a≥0,b≥0).
(2)除法法则:=　　　(a≥0,b>0).
注意:在二次根式除法运算过程中一般情况下是将分母中的根号化去(分母有理化).如:=　　　　=　　　　　　.
同类
3.混合运算顺序:先算　　　,再算　　　,最后算　　　　　　　,如果有括号先算括号里面的,同一级运算按照从左到右的顺序依次进行.化简二次根式时,各个二次根式要化成　　　　　　　　　　　　,并且通常要求最终结果中分母不含有根号.
乘方　
乘除
加减
最简二次根式
考题·自测体验
1.(2022湖北仙桃)下列各式计算正确的是(　　).
A.
B.4-3=1
C.
D.÷2=
2.(2021广东)若=0,则ab=(　　).
A. B.
C.4 D.9
C
B
3.(2023广东)计算:=　　　　　.
4.(2021广东广州)代数式在实数范围内有意义,则x应满足的条件是　　　　.
5.(2024广东深圳)计算:-2·cos 45°+(π-3.14)0+|1-|+()-1.
6
x≥6
解:原式=-2×+1+-1+4=-+1+-1+4=4.
考法·分类全析
考法1二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件是被开方数要大于或等于0.
例1函数y=中自变量x的取值范围是(　　).
A.x≤2 B.x≤2,且x≠1
C.x<2,且x≠1 D.x≠1
解析:根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0,可知2-x≥0,且x-1≠0,解得x≤2,且x≠1.
答案:B
方法点拨 代数式有意义的条件,一般从三个方面考虑:(1)当表达式是整式时,可取全体实数;(2)当表达式是分式时,分式的分母不能为0;(3)当表达式是二次根式时,被开方数必须是非负数.
考法2二次根式的性质
例2把二次根式a化简后,结果正确的是(　　).
A. B.-
C.- D.
解析:要使a有意义,必须-≥0,且a≠0,即a<0,所以a=a=-.
答案:B
方法点拨 如果题目中对根号内的字母给出了取值范围,那么应在这个范围内对根式进行化简;如果题目中没有给出明确的取值范围,那么应注意对题目条件的挖掘,把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来,在取值范围内进行化简.
考法3最简二次根式与同类二次根式
例3(1)下列二次根式中,最简二次根式是(　　).
A. B. C. D.
(2)在下列二次根式中,与是同类二次根式的是(　　).
A.a B. C. D.
解析:(1)B,C选项中的被开方数中含开得尽方的因数,D选项中的被开方数中含有分母,故A选项正确.(2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后,可得出|a|,=a=a2,结合同类二次根式的含义,可得出是同类二次根式.
答案:(1)A　(2)C
方法点拨 1.最简二次根式的简易判断方法:凡根号里有小数点、分数线的都不是最简二次根式,并且最简二次根式的被开方数中不能含开得尽方的因数(式).
2.判断同类二次根式的步骤:先把所有的二次根式化成最简二次根式;再根据被开方数是否相同加以判断.要注意同类二次根式只与根号内的因数(式)有关,与根号外的因式无关.
考法4二次根式的运算
二次根式的运算首先要注意运算顺序,其次要掌握好运算法则,最后注意运算结果.
例4计算:()÷.
解:原式=(5-2)÷=3=3.
方法点拨 1.二次根式加减法运算的步骤:(1)将每个二次根式化成最简二次根式;(2)找出其中的同类二次根式;(3)合并同类二次根式.
2.二次根式乘除法运算的步骤:先利用运算法则将被开方数化为积(或商)的二次根式,再化简;最后结果要化为最简二次根式或整式或分式.
考法5化简求值
二次根式的化简求值是中考的常见题型.这类问题涉及最简根式、分母有理化等重要概念,同时涉及整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法,解题的关键是把已知条件化简,或把已知条件变形,或把待求式化简或变形,或把已知条件和待求式同时变形.
例5已知a=,求的值.
解:∵a==2-<1,∴a-1<0.
∴=-.
∵a=,∴-=-2-.
方法点拨 对于双重化简求值问题,通常先根据已知条件判断出题目中需要往外开的因式的正负情况,再将代数式化简,最后代入求值.
考点·巩固迁移
1.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是(　　).
A.x≠2 B.x≥2
C.x≤2 D.x≠-2
2.如果=1-2a,那么(　　).
A.a< B.a≤
C.a> D.a≥
B
B
3.下列计算正确的是(　　).
A.
B.
C.=2
D.=4
A
4.若最简二次根式是同类二次根式,则ab=　　　　.

5.计算:|-|-2sin 45°+(1-)0+.
1
解:原式=-2×+1++1+4=5.

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