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(共29张PPT)
第14讲　三角形的基本概念与性质
第四单元
2026
内容索引
01
考点·梳理整合
02
考题·自测体验
03
考法·分类全析
04
考点·巩固迁移
考点·梳理整合
1.三角形的分类及其性质
大于
小于
180°
等于
大于
2.三角形中的重要线段:
四线 定义 性质 图形
中线 连接一个顶点与它对边中点的线段 BD=DC

高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 AD⊥BC, 即∠ADB=∠ADC=90°
四线 定义 性质 图形
角平分线 一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∠1=∠2
中位线 连接三角形两边中点的线段 DE∥BC,且DE=BC
考题·自测体验
1.(2024广东)如图,一把直尺、两个含30°角的三角尺拼接在一起,则∠ACE的度数为(　　).
A.120° B.90° C.60° D.30°
C
2.(2022湖北鄂州)如图,直线l1∥l2,点C,A分别在l1,l2上,以点C为圆心,CA长为半径画弧,交l1于点B,连接AB.若∠BCA=150°,则∠1的度数为(　　).
A.10° B.15° C.20° D.30°
B
3.(2021浙江温州)如图,BE是△ABC的角平分线,在AB上取点D,使DB=DE.
(1)求证:DE∥BC;
(2)若∠A=65°,∠AED=45°,求∠EBC的度数.
(1)证明:∵BE是△ABC的角平分线,
∴∠DBE=∠EBC.
∵DB=DE,∴∠DEB=∠DBE,
∴∠DEB=∠EBC,∴DE∥BC.
(2)解:∵DE∥BC,∴∠C=∠AED=45°.
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-65°-45°=70°.
∵BE是△ABC的角平分线,
∴∠DBE=∠EBC=∠ABC=35°.
考法·分类全析
考法1三角形的三边关系
1.三角形的三边关系:三角形两边之和大于第三边,三角形两边之差小于第三边.
2.在运用三角形三边关系判断三条线段能否构成三角形时,并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.
3.在涉及三角形的边长或周长的计算时,注意最后要用三边关系检验.
例1在等腰三角形中,有两条边的长度为3和1,则此等腰三角形的周长
为(　　).
A.5 B.7 C.5或7 D.6
解析:已知两边长为3和1,没明确哪个是底边哪个是腰,故需要分类讨论:
①当3为底边长度时,其他两边长度都为1,
由1+1<3,可知不能构成三角形,故舍去;
②当3为腰的长度时,其他两边长度为3和1,
由3,3,1可以构成三角形,可知周长为7.
答案:B
方法点拨 三角形三边关系主要有三个作用,一是可以判断三条线段能否组成三角形,二是已知三角形两边长度可确定第三边长度取值范围,三是证明线段之间的不等关系.像本题这样在已知中没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,进行分类讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形再进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.
考法2三角形的内角和、外角的性质
1.三角形的内角和是180°.
2.三角形的外角性质:(1)三角形的外角和为360°.(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.(3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.
3.若研究的角比较多,要设法利用三角形的外角性质(2),将它们集中到同一个三角形中去.探究角度之间的不等关系,多用外角的性质(3),先从最大角开始,观察它是三角形的哪个外角.
例2如图4-14-1,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(　　).
A.90° B.150°
C.180° D.240°
解析:对于△AND,有∠ANB=∠A+∠D;对于△CEM,有∠BMN=∠C+∠E,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠MNB+∠BMN+∠B=180°.
答案:C
方法点拨 运用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”这个性质,有助于将分散的角集中在同一个三角形中,从而得出其角度的和.
考法3三角形“三线”的性质
三角形有三条中线、三条高、三条角平分线,它们都是线段.
锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在直线相交于三角形外一点.
例3如图4-14-2,BM是△ABC的一条中线,AB=5 cm,BC=3 cm.
求:(1)△ABM与△BCM的周长之差;
(2)S△ABM∶S△CBM.
解:(1)由AM=MC,可知△ABM与△BCM的周长之差=AB+AM+BM-(BM+BC+MC)=AB-BC=5-3=2(cm).
(2)如图,过点B作BH⊥AC,交AC的延长线于点H.
∵AM=MC,
∴=1,
即S△ABM∶S△CBM=1∶1.
方法点拨 三角形的“三线”在解题中的重要作用
三角形的高可以用来求三角形的面积;三角形的角平分线可以用来得到角相等和线段相等;三角形的中线把三角形的一边分成相等的两段,同时也把三角形分成面积相等的两部分.
考法4三角形中位线的性质
如图4-14-3,在△ABC中,若点D,E分别是AB,AC的中点,则DE∥BC,DE=BC.
用语言叙述:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
例4如图4-14-4,在△ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A,D关于点F对称,过点F作FG∥CD,交AC边于点G,连接GE.若AC=18,BC=12,则△CEG的周长为　　　　　.
解析:因为点A,D关于点F对称,所以AF=DF.由题意知FG∥CD,所以AG=CG=9.
因为CE是中线,所以AE=BE,所以EG 是△ABC 的中位线,所以EG=BC=6.
因为CE=CB=12,所以△CEG的周长为CG+EG+CE=9+6+12=27.
答案:27
方法点拨 一般来说,当题中涉及边的中点时,常联想到运用三角形的中位线性质,其主要有两个作用:一是求线段的长,二是得出直线的平行关系,进一步得到角的数量关系.
考点·巩固迁移
1.三角形的两条边长分别为3和6,第三边长是方程x2-13x+36=0的根,则三角形的周长为(　　).
A.13 B.15
C.18 D.13或18
A
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,DE∥AB.若∠CDE=160°,则∠B的度数为(　　).
A.40° B.50°
C.60° D.70°
D
3.如图,一把三角尺的60°角的顶点A与直角顶点C分别在平行线FD和GH上,斜边AB平分∠CAD,交直线GH于点E,则∠ECB的度数为(　　).
A.60° B.45° C.30° D.25°
C
4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AC的垂直平分线分别交AB,AC于D,E两点,连接CD,则∠BCD=　　　　.
30°
5.如图为跷跷板的简单示意图,支架EF的高度为0.6 m,点E是AB的中点,那么翘起的最大高度BC等于　　　m.
1.2

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