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(共32张PPT)
第28讲　数据的分析
第八单元
2026
内容索引
01
考点·梳理整合
02
考题·自测体验
03
考法·分类全析
04
考点·巩固迁移
考点·梳理整合
考点一 数据的集中趋势
1.平均数:
(1)一般地,对于n个数x1,x2,…,xn,我们把(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的　　　　　　,简称平均数,记为.
(2)加权平均数:实际问题中,一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同.因而,在计算这组数据的平均数时,往往给每个数据一个“权”,可求出加权平均数.
算术平均数
(3)简便运算:当一组数据x1,x2,…,xn的各个值比较大时,可以把每个数据都减去一个较整的数a,得到一组新数据:x1'=x1-a,x2'=x2-a,…,xn'=xn-a,若x1,x2,…,xn的平均数是,x1',x2',…,xn' 的平均数是',则'+　　;
(4)平均数的意义:平均数常常用来描述一组数据的平均水平.缺点是容易受个别极端数据的影响.
2.众数:
(1)概念:一组数据中,出现次数　　　的那个数据叫做这组数据的众数;
(2)众数的意义:众数表示一组数据中出现次数　　　的数.一组数据的众数可能不止一个.
a
最多
最多
3.中位数:
(1)概念:一般地,n个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数;
(2)中位数的意义:中位数说明这组数据中比这个数大和比这个数小的数据个数相同.缺点是中位数可能不是这组数据中的数且不能关注到每一个数据.
考点二 数据的离散程度
1.方差的概念:各个数据与平均数差的平方的平均数,即s2=　　　　　　　　　　　　　　　,　　　　是方差的算术平方根.
2.方差的意义:当两组个数相同的同类型数据的平均数相同或相差不大时,常常用方差来描述它们的离散程度,一般来说,一组数据的方差越大,其波动越　　　.
[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
标准差
大
考题·自测体验
1.(2021广东深圳)某组数据如下:109,133,120,118,124.那么这组数据的中位数是(　　).
A.124 B.120 C.118 D.109
B
2.(2022湖北)下列说法正确的是(　　).
A.为了解我国中小学生的睡眠情况,应采取普查的方式
B.一组数据1,2,5,5,5,3,3的众数和平均数都是3
C.若甲、乙两组数据的方差分别是0.01,0.1,则甲组数据比乙组数据更稳定
D.抛掷一枚硬币200次,一定有100次正面向上
C
3.(2024广东深圳)据了解,“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中,推动惠民利民的重要举措,在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义.按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则,“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地,已有的体育场地得到有效利用”.小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体,现有A,B两所学校适合,小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数:
学校A:28,30,40,45,48,48,48,48,48,50
学校B:
(1)
学校 平均数 众数 中位数 方差
A 　　 48 48 58.01
B 48.4 　　 　　 354.04
(2)根据上述材料分析,小明爸爸应该预约哪所学校 请说明你的理由.
解:(1)A学校的平均数:×(28+30+40+45+48+48+48+48+48+50)=43.3,
B学校的众数为25,中位数为=47.5,
故答案为:43.3,25,47.5.
(2)小明爸爸应该预约A学校,理由如下:
因为两所学校的平均数接近,但A学校的方差小于B学校,即A学校预约人数比较稳定,所以小明爸爸应该预约A学校.
4.(2021广东广州)某中学为了解九年级学生参加志愿者活动的次数,随机调查了该年级20名学生,统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下:
3,5,3,6,3,4,4,5,2,4,5,6,1,3,5,5,4,4,2,4
根据以上数据,得到不完整的频数分布表如下:
次数 1 2 3 4 5 6
人数 1 2 a 6 b 2
(1)表格中的a=　　　　,b=　　　　;
(2)在这次调查中,参加志愿者活动的次数的众数为　　,中位数为　　　;
(3)若该校九年级共有300名学生,根据调查统计结果,估计该校九年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数.
解:(1)4　5　(2)4　4　(3)300×=90.
5.(2023广东)小红家到学校有两条公共汽车线路,为了解两条线路的乘车所用时间,小红做了试验,第一周(5个工作日)选择A线路,第二周(5个工作日)选择B线路,每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间,数据统计如下:(单位:min)
A,B线路所用时间折线图
A,B线路所用时间统计表
实验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A线路 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20
B线路 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24
根据以上信息解答下列问题:
线路 平均数 中位数 众数 方差
A线路 22 a 15 63.2
B线路 b 26.5 c 6.36
(1)填空:a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　;
(2)应用你所学的统计知识,帮助小红分析如何选择乘车线路.
解:(1)求中位数a首先要排序,
从小到大排序为14,15,15,16,18,20,21,32,34,35,共有10个数,
中间两个数为18,20,
所以中位数a==19.
平均数b==26.8.
众数c=25.
(2)小红统计的选择A线路平均数为22,选择B线路平均数为26.8,用时差不太多,而方差63.2>6.36,同时结合图象可看出B线路的波动性更小,所以选择B线路更优.
考法·分类全析
考法1平均数的求法
通常是直接代入平均数公式或加权平均数公式进行计算.
例1在一次“爱心互助”捐款活动中,第一小组8名爱心人士捐款的金额(单位:元)如下表所示:
金额/元 50 60 70 100
人数 2 3 2 1
这8名爱心人士捐款的平均金额为(　　).
A.35元 B.60元 C.65元 D.70元
解析:根据题意,得(50×2+60×3+70×2+100×1)÷8=65(元),故选C.
答案:C
误区警示 本例表格中上面一行是数据,下面一行是对应各个数据的权,同学们常常在计算时因为不能正确做出判断而导致错误.
考法2中位数和众数的求法
根据中位数和众数的概念直接计算.
例2某市6月某周气温(单位:℃)为23,25,28,25,28,31,28,这组数据的众数和中位数分别是(　　).
A.25,25 B.28,28
C.25,28 D.28,31
解析:这组数据中28出现3次,出现次数最多,所以众数为28.
把这组数据由小到大排列为23,25,25,28,28,28,31,所以中位数为28,故选B.
答案:B
易错警示 找中位数的时候一定要先排好大小顺序,然后根据数据的个数是奇数个还是偶数个来确定中位数.如果数据有奇数个,那么正中间的数即所求;如果是偶数个,那么找中间两个数的平均数.众数是一组数据中出现次数最多的数据,众数可以不止一个.
考法3方差的求法和应用
计算方差时要熟记公式,应用方差时要注意:方差越小,数据波动越小.
例3小华家几年前承包了甲、乙两片荒山,各栽100棵杨梅树,成活98%,现已挂果,经济效益初步显现.小华爸爸为了分析收成情况,和小华一起分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅,每棵的产量如下.
图8-28-1
解:(1)=40(kg),=40(kg),估计总产量为40×100×98%×2=7 840(kg);
(2)∵×[(50-40)2+(36-40)2+(40-40)2+(34-40)2]=38,
×[(36-40)2+(40-40)2+(48-40)2+(36-40)2]=24,∴.
答:乙山上的杨梅产量较稳定.
考点·巩固迁移
1.甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表:
选手 甲 乙 丙 丁
平均数/环 9.2 9.2 9.2 9.2
方差 0.035 0.015 0.025 0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是(　　).
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
B
2.如果将一组数据中的每个数都减去5,那么所得的一组新数据(　　).
A.众数改变,方差改变
B.众数不变,平均数改变
C.中位数改变,方差不变
D.中位数不变,平均数不变
C
3.某中学举行了数学素养大赛,赛后涵涵想提前知道自己的成绩,老师告诉了他两条信息:①其他五名学生的成绩(单位:分)分别是85,87,90,93,95;②他的成绩在这六个分数中既是众数,又是中位数.请你思考,涵涵的成绩是(　).
A.85 B.87
C.90 D.93
C
4.小芳在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示,其各项的得分分别为9,8,10,8,7,则该同学这五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为(　　).
A.8,8,8
B.7,8,7.8
C.8,8,8.7
D.8,8,8.4
D
5.若一组数据21,14,x,y,9的众数和中位数分别是21和15,则这组数据的平均数为　 .
16
6.某班组织“捐零花钱,献爱心”活动,全班50名学生的捐款情况如图所示,则本次捐款金额的众数是　　　　　元,中位数是　　　　　元.
10
10
7.为了从甲、乙两名选手中选拔一名参加射击比赛,现对他们进行一次测验,两个人在相同条件下各射靶10次,为了比较两人的成绩,制作了如下统计图表:
甲、乙射击成绩统计表
选手 平均数/环 中位数/环 方差 命中10环的次数
甲 7 0
乙 1
甲、乙射击成绩折线图
(1)请补全上述图表(请直接在表中填空和补全折线图).
(2)如果规定成绩较稳定者胜出,你认为谁胜出 说明你的理由.
(3)如果希望(2)中的另一名选手胜出,根据图表中的信息,应该制定怎样的评判规则 为什么
解:(1)根据折线统计图得乙的射击成绩(单位:环)为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,
则平均数为=7(环),中位数为7.5环,
方差为×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2
+(9-7)2+(10-7)2]=5.4;
甲的射击成绩(单位:环)为9,6,7,6,2,7,7, ,8,9,平均数为7环,则甲第八次成绩为10×7-(9+6+7+6+2+7+7+8+9)=9(环),
所以甲的10次成绩(单位:环)为9,6,7,6,2,7,7,9,8,9,中位数为7环,方差为×[(9-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(2-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(8-7)2
+(9-7)2]=4.
补全表格和折线图如下:
甲、乙射击成绩统计表
选手 平均数/环 中位数/环 方差 命中10环的次数
甲 7 7 4 0
乙 7 7.5 5.4 1
甲、乙射击成绩折线图
(2)由甲和乙的平均数相同,且甲的方差小于乙的方差,知甲比较稳定,故甲胜出.
(3)如果希望乙胜出,那么应该制定的评判规则如下:平均成绩高的胜出;如果平均成绩相同,那么随着比赛的进行,发挥越来越好者或命中满环(10环)次数多者胜出.因为甲、乙的平均成绩相同,乙只有第5次射击比第4次射击少命中1环,且命中1次10环,而甲第2次比第1次、第4次比第3次、第5次比第4次、第9次比第8次命中环数都低,且命中10环的次数为0,即随着比赛的进行,乙的射击成绩越来越好.

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