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单元检测卷四　图形初步与三角形
(时间:100分钟　满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.下列各小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.已知线段AB=16 cm,O是线段AB上一点,M是AO的中点,N是BO的中点,则MN=(　　).
A.10 cm B.6 cm C.8 cm D.9 cm
2.已知∠1=1°30',∠2=1°18',则∠1与∠2的数量关系为(　　).
A.∠1=∠2 B.∠1-∠2=12' C.∠1-∠2=22' D.∠2-∠1=12'
3.如图,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D.若∠C=65°,则∠DBC的度数是(　　).
(第3题)
A.25° B.20° C.30° D.15°
4.如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上,若线段AB=4,则线段BC的长是(　　).
(第4题)
A.2 B.4 C.1 D.
5.一把直尺和正六边形ABCDEF的位置如图所示,如果∠1=50°,那么∠2的大小为 (　　).
(第5题)
A.50° B.60° C.70° D.68°
6.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为,则点P的个数为(　　).
(第6题)
A.2 B.3 C.4 D.5
7.八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形如图所示.根据图中标示的各点位置,判断△ACD与下列哪一个三角形全等(　　).
(第7题)
A.△ACF B.△AED C.△ABC D.△BCF
8.如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是(　　).
(第8题)
A.24 B.30 C.36 D.42
9.如图,若正方形网格中每个小方格的边长为1,则△ABC是(　　).
(第9题)
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
10.如图,点A,C都在直线l上,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,三点E,B,D到直线l的距离分别是6,3,4,则图中由线段AB,BC,CD,DE,EA所围成的图形的面积是 (　　).
(第10题)
A.50 B.62 C.65 D.68
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.一副三角尺摆放方式如图所示,斜边平行,则∠1的度数为　　　　　.
(第11题)
12.已知正三角形ABC的边长为2 cm,若以AC为边作一个正方形ACDE,则点B到边DE的距离为　　　　 cm.
13.如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1 200 m,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为　　　　　m.(结果保留根号)
(第13题)
14.已知△ABC是直角边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰直角三角形ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰直角三角形ADE……以此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是　　　　　.
(第14题)
15.如图,△ABC三边的中线AD,BE,CF相交于点G.若S△ABC=12,则图中阴影部分的面积是.
(第15题)
16.如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AC上的点,将△CDE沿DE折叠,得到△FDE,连接BF,CF,∠BFC=90°.若EF∥AB,AB=4,EF=10,则AE的长为　　　　　　　　.
(第16题)
三、解答题(本大题共66分)
17.(本小题6分)如图,AC是四边形ABCD的对角线,∠1=∠B,点E,F分别在AB,BC上,BE=CD,BF=CA,连接EF.
(第17题)
(1)求证:∠D=∠2.
(2)若EF∥AC,∠D=78°,求∠BAC的度数.
18.(本小题8分)如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD.
(第18题)
(1)求证:BE=AD.
(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线.
(3)△DBC是等腰三角形吗 请说明理由.
19.(本小题8分)如图,四边形ABCD是平行四边形,△AB'C和△ABC关于AC所在的直线对称,AD和B'C相交于点O,连接BB'.
(第19题)
(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母);
(2)求证:△AB'O≌△CDO.
20.(本小题10分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,∠BAC=90°,∠CED=45°,∠DCE=30°,DE=,BE=2.
(第20题)
(1)求CD的长;
(2)求四边形ABCD的面积.
21.(本小题10分)如图,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点O.
(第21题)
(1)求证:AD=AE;
(2)试判断BC与DE的位置关系,并说明理由.
22.(本小题10分)如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,且∠B=∠ADB,过点C作CM垂直于AD,交AD的延长线于点M.
(第22题)
(1)若∠DCM=α,试用α表示∠BAD;
(2)求证:AB+AC=2AM.
23.(本小题14分)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1、图2、图3中,AF,BE是△ABC的中线,AF⊥BE,垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.
特例探索
(1)如图1,当∠ABE=45°,c=2 时,a=　　　　　 ,b=　　　　　;
如图2,当∠ABE=30°,c=4时,a=　　　　　,b=　　　　　.
图1
图2
图3
图4
(第23题)
归纳证明
(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2,b2,c2三者之间的关系,用等式表示出来,利用图3证明你发现的关系式.
拓展应用
(3)如图4,在 ABCD中,点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点,BE⊥EG,AD=2,AB=3,求AF的长.
单元检测卷四　图形初步与三角形
1.C　2.B　3.D　4.A　5.C　6.A　7.B　8.B　9.A　10.A　11.15°　12.(2+)或(2-)
13.1 200(-1)　14.()n　15.2　16.10-4
17.(1)证明 在△BEF和△CDA中,
故△BEF≌△CDA,∠D=∠2.
(2)解 ∵∠D=∠2,∠D=78°,
∴∠2=78°.
∵EF∥AC,∴∠BAC=∠2=78°.
18.(1)证明 ∵∠ABC=90°,BD⊥EC,
∴∠1与∠3互余,∠2与∠3互余.∴∠1=∠2.
∵∠ABC=∠DAB=90°,AB=BC,
∴△BAD≌△CBE.
∴BE=AD.
(2)证明 由E是AB的中点,可知EB=EA.
由(1)AD=BE得AE=AD.
∵AD∥BC,AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠7=∠ACB=45°,∠6=45°,
∴∠6=∠7.
由等腰三角形的性质,得EM=MD,AM⊥DE.
故AC是线段ED的垂直平分线.
(3)解 △DBC是等腰三角形.理由如下:
由(2)得,CD=CE.由(1)得,CE=BD.
∴CD=BD.
∴△DBC是等腰三角形.
19.(1)解 △ABB',△AOC和△BB'C.
(2)证明 在 ABCD中,AB=DC,∠ABC=∠D,
由对称知AB'=AB,∠ABC=∠AB'C,
∴AB'=CD,∠AB'O=∠D.
在△AB'O和△CDO中,
∴△AB'O≌△CDO.
20.解 (1)如图,过点D作DH⊥AC于点H,
(第20题)
∵∠CED=45°,DH⊥EC,DE=,∴EH=DH.
∵EH2+DH2=ED2,
∴EH=DH=1.
又∵∠DCE=30°,∴CD=2.
(2)由(1)知HC=,
∵∠AEB=45°,∠BAC=90°,BE=2,
∴AB=AE=2,∴AC=2+1+=3+,
∴四边形ABCD的面积S=×2×(3+)+×1×(3+)=.
21.(1)证明 在△ACD与△ABE中,
∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90°,AC=AB,
∴△ACD≌△ABE.
∴AD=AE.
(2)解 互相平行.理由如下:
在△ADE与△ABC中,∵AD=AE,AB=AC,
∴∠ADE=∠AED,∠ABC=∠ACB,
且∠ADE==∠ABC.
∴BC∥DE.
22.(1)解 ∵CM⊥AM,∠DCM=α,
∴∠CDM=∠ADB=∠B=90°-α,
∴∠BAD=180°-2∠ADB=180°-2(90°-α)=2α.
(第22题)
(2)证明 如图,延长AM到F使MF=AM,连接CF,则AC=CF.
由AD平分∠CAB,可知∠CAF=∠BAF=∠F.
故CF∥AB.
所以∠FCD=∠B=∠ADB=∠CDF.
所以CF=DF.
所以AC=DF.
又AD+DF=2MA,所以AB+AC=2AM.
23.解 (1)如图1,连接EF,则EF是△ABC的中位线,
所以EF=AB=.
因为∠ABE=45°,AF⊥BE,
所以△ABP是等腰直角三角形.
因为EF∥AB,所以△EFP也是等腰直角三角形.
所以AP=BP=2,EP=FP=1.
所以AE=BF=.所以a=b=2.
图1
图2
图3
图4
(第23题)
如图2,连接EF,则EF是△ABC的中位线.
因为∠ABE=30°,AF⊥BE,AB=4,
所以AP=2,BP=2.
因为EFAB,所以PE=,PF=1.
所以AE=,BF=.
所以a=2 ,b=2.
故填2　2;2　2.
(2)a2+b2=5c2.
如图3,连接EF,设AP=m,BP=n,
则c2=AB2=m2+n2,
由EFAB,可知PE=BP=n,
PF=AP=m.
故AE2=m2+n2,BF2=n2+m2.
所以b2=AC2=4AE2=4m2+n2,
a2=BC2=4BF2=4n2+m2.
所以a2+b2=5(m2+n2)=5c2.
(3)如图4,延长EG,BC交于点Q,连接QD并延长与BA的延长线交于点P,延长QE,BE分别交PB,PQ于点M,N,连接EF.
设AF与BE的交点为点O.
由四边形ABCD是平行四边形,
可知ADBC,ABCD.
因为E,G分别是AD,CD的中点,
所以△EDG≌△QCG≌△EAM,
所以CQ=DE=,DG=AM=1.5,BM=4.5,BQ=3.
因为,所以 .
所以BP=9.
即M是BP的中点.
因为ADFQ,
所以四边形ADQF是平行四边形.
所以AF∥PQ.
因为E,F分别是AD,BC的中点,所以AEBF.
所以四边形ABFE是平行四边形,
所以OA=OF.
由AF∥PQ,得,
,所以.
所以PN=QN,即N是PQ的中点,
△BQP是“中垂三角形”.
所以PQ2=5BQ2-BP2=5×(3)2-92=144,
所以PQ=12.所以AF=PQ=4.
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