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单元检测卷五　四边形、圆
(时间:100分钟　满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.下列各小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.在 ABCD中,下列结论一定正确的是(　　).
A.AC⊥BD B.∠A+∠B=180° C.AB=AD D.∠A≠∠C
2.四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列四组条件中,一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　).
A.AD∥BC B.OA=OC,OB=OD
C.AD∥BC,AB=DC D.AC⊥BD
3.如图,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,AD为半径,画圆弧DE得到扇形DAE(阴影部分,点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是(　　).
(第3题)
A. B.1 C. D.
4.如图,将n个边长为1 cm的正方形进行摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形的中心,则n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为(　　).
(第4题)
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
5.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6,BC=8,则EF的长度是(　　).
(第5题)
A.2.4 B.2.5 C.4.8 D.5
6.如图,已知直线AB与☉O相切于点A,☉O的半径为2.若∠OBA=30°,则OB的长为(　　).
(第6题)
A.4 B.4 C.2 D.2
7.如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E在以B为圆心的弧AC上,射线DE交AB于点F,连接CE,若CE⊥DF,则DE=(　　).
(第7题)
A.2 B. C. D.
8.如图,在☉O中,∠AOB的度数为m,C是优弧AB上一点,D,E是 上不同的两点(不与A,B两点重合),则∠D+∠E的度数为(　　).
(第8题)
A.m B.180°- C.90°+ D.
9.在半径为1的圆中,长为 的弦所对的圆心角的度数是(　　).
A.30° B.45°
C.60° D.90°
10.如图,☉C的圆心在定角∠α(0°<α<180°)的平分线上运动,且☉C与∠α的两边相切,图中阴影部分的面积S关于☉C的半径r(r>0)变化的函数图象大致是(　　).
(第10题)
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AD∥BC,请添加一个条件:　　　　　,使四边形ABCD为平行四边形.(不添加任何辅助线)
(第11题)
12.如图,平面上两个正方形与一个正五边形都有一条公共边,则∠α等于　　　　　.
(第12题)
13.如图,点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,∠1=∠2,则∠BPC的度数为　　　　　.
(第13题)
14.如图,在正六边形ABCDEF中,分别以C,F为圆心,以正六边形的边长为半径作弧,图中阴影部分的面积为24π,则AE的长为　　　　　.
(第14题)
15.如图,已知AB是半圆的直径,AD切半圆于点A,点C是的中点,则下列结论成立的有　　　　　.(填序号)
(第15题)
①OC∥AE;②EC=BC;③∠DAE=∠ABE;④AC⊥OE.
16.如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E,F分别是AB,AD上任意的点(不与端点重合),且AE=DF.连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H,给出如下几个结论:①△AED≌△DFB;②S四边形BCDG=CG2;③若AF=2DF,则BG=6GF;④CG与BD一定不垂直;⑤∠BGE的大小为定值.
(第16题)
其中正确的结论有　　　　　.(填序号)
三、解答题(本大题共66分)
17.(本小题6分)如图,在矩形ABCD中,O为对角线AC的中点,过点O作直线分别与矩形的边AD,BC交于M,N两点,连接CM,AN.
(第17题)
(1)求证:四边形ANCM为平行四边形;
(2)若AD=4,AB=2,且MN⊥AC,求DM的长.
18.(本小题8分)如图,已知∠PAC=30°,在射线AC上顺次截取AD=3 cm,DB=10 cm,以DB为直径作☉O交射线AP于E,F两点,求圆心O到AP的距离及EF的长.
(第18题)
19.(本小题8分)如图,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点F.求证:AM=EF.
(第19题)
20.(本小题8分)如图,CD为☉O的直径,CD⊥AB,垂足为F,AO⊥BC,垂足为E,AO=2.
(第20题)
(1)求∠C的大小;
(2)求阴影部分的面积.
21.(本小题12分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,∠ABC=90°,点E,F分别在线段BC,AD上,且EF∥CD,AB=AF,CD=DF.
(第21题)
(1)求证:CF⊥FB;
(2)求证:以AD为直径的圆与BC相切;
(3)若EF=2,∠DFE=120°,求△ADE的面积.
22.(本小题12分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相交于点D,E,F,且BF=BC.☉O是△BEF的外接圆,∠EBF的平分线交EF于点G,交☉O于点H,连接BD,FH.
(第22题)
(1)求证:△ABC≌△EBF;
(2)试判断BD与☉O的位置关系,并说明理由;
(3)若AB=1,求HG·HB的值.
23.(本小题12分)如图1,在正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,连接AE,BF,交点为G.
(1)求证:AE⊥BF;
(2)将△BCF沿BF对折,得到△BPF(如图2),延长FP交BA的延长线于点Q,求sin∠BQP的值;
(3)将△ABE绕点A按逆时针方向旋转,使边AB正好落在AE上,得到△AHM(如图3),若AM和BF相交于点N,当正方形ABCD的面积为4时,求四边形GHMN的面积.
图1
图2
图3
(第23题)
单元检测卷五　四边形、圆
1.B　2.B　3.D　4.C　5.B　6.B　7.C　8.B　9.D　10.C　11.AD=BC(答案不唯一)　12.72°
13.135°　14.6　15.①②③　16.①③⑤
17.(1)证明 ∵在矩形ABCD中,O为对角线AC的中点,
∴AD∥BC,AO=CO,
∴∠OAM=∠OCN,∠OMA=∠ONC.
在△AOM和△CON中,
∴△AOM≌△CON,∴AM=CN.
又AM∥CN,∴四边形ANCM为平行四边形.
(2)解 ∵在矩形ABCD中,AD=BC,由(1)知AM=CN,
∴DM=BN.
∵四边形ANCM为平行四边形,MN⊥AC,
∴平行四边形ANCM为菱形,
∴AM=AN=NC=AD-DM.
在Rt△ABN中,根据勾股定理,得AN2=AB2+BN2,
∴(4-DM)2=22+DM2,解得DM=.
18.
(第18题)
解 如图,过点O作OM⊥AP于点M,∵∠PAC=30°,
∴OM=AO.又AD=3 cm,DO=BD=5 cm,
∴AO=8 cm,OM=4 cm.
连接OE,则OE=5 cm,由勾股定理得EM=3 cm,
∴EF=6 cm.
故圆心O到AP的距离为4 cm,EF的长为6 cm.
19.
(第19题)
证明 如图,连接MC.
在正方形ABCD中,
因为AD=CD,∠ADM=∠CDM,又DM=DM,所以△ADM≌△CDM,
所以AM=CM.
因为ME∥CD,MF∥BC,
所以四边形CEMF是平行四边形.
因为∠ECF=90°,
所以 CEMF是矩形,所以EF=CM.
又AM=CM,故AM=EF.
20.解 (1)∵AO⊥BC,CD⊥AB,
∴CE=EB,AF=FB,∠CEO=∠AFO=90°.
又∠COE=∠AOF,OA=OC,
∴△AOF≌△COE.
∴AF=CE,即BF=BC.
又∠CFB=90°,
∴∠C=30°.
(2)连接OB(图略).由(1)知∠AOB=2∠AOF=2×(90°-30°)=120°,OF=OA=1,
∴AF=.
∴AB=2.
∴S阴影=S扇形AOB-S△AOB=×1×2.
21.(1)证明 ∵CD=DF,设∠DCF=∠DFC=α,
∴∠FDC=180°-2α.
∵CD∥AB,∴∠BAF=180°-(180°-2α)=2α.
又AB=AF,∴∠ABF=∠AFB==90°-α,
∴∠CFB=180°-∠DFC-∠AFB=180°-α-(90°-α)=90°,∴CF⊥BF.
(2)证明 如图1,取AD的中点O,过点O作OM⊥BC,
∵AB∥CD,∠ABC=90°,∴∠DCB=90°.
又OM⊥BC,∴OM∥AB,
∴M为BC的中点,
∴OM=(AB+CD).
∵AD=AF+DF,又AF=AB,DF=DC,
∴AD=AB+CD=2OM,∴OM=AD=OD.
又OM⊥BC,∴以AD为直径的圆与BC相切.
图1
图2
　　　　　　　(第21题)
(3)解 ∵∠DFE=120°,CD∥EF,EF∥AB,
∴∠CDF=60°,∠BAF=120°,∠AFE=60°.
又DC=DF,∴△DCF为等边三角形,∠DFC=60°,
由(1)得∠CFB=90°,∴∠EFB=30°,
∴∠BFA=∠FBA=30°.
∵EF=2,在Rt△BFE中,BE=EF·tan 30°=.
在Rt△CEF中,CE=EF·tan 60°=2.
如图2,过点D、点A分别向直线EF作垂线交EF于点M,N,∵CD∥EM,AB∥EF,且由垂直得CE∥DM,AN∥BE,
∴四边形CEMD是平行四边形.
由∠ECD=90°得四边形CEMD是矩形.
∴CE=DM=2,同理,BE=AN=.
∴S△ADE=S△EFD+S△EFA=·EF·DM+·EF·AN=·EF·(DM+AN)=×2×2=.
22.(1)证明 ∵∠ABC=90°,∴∠EBF=90°.
∵DF⊥AC,∴∠ADF=90°.
∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°.
∴∠C=∠BFE.
在△ABC与△EBF中,
∴△ABC≌△EBF.
(2)解 BD与☉O相切,理由如下:
如图1,连接OB.
∵OB=OF,∴∠OBF=∠OFB.
∵∠ABC=90°,AD=CD,∴BD=CD.
∴∠C=∠DBC.
∵DF⊥AC,∴∠C=∠BFE,∴∠DBC=∠OBF.
∵∠CBO+∠OBF=90°,∴∠DBC+∠CBO=90°.
∴∠DBO=90°.∴BD与☉O相切.
图1
图2
　　　　　　　(第22题)
(3)解 如图2,连接CF,HE.
∵∠CBF=90°,BC=BF,∴CF=BF.
又DF垂直平分AC,
∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF.
∴BF=+1.
∵△ABC≌△EBF,∴BE=AB=1.
∴EF=.
又BH平分∠CBF,∴.∴EH=FH.
故△EHF是等腰直角三角形.
∴HF=EF=.
∵∠EFH=∠HBF=45°,∠BHF=∠FHG,
∴△BHF∽△FHG.
∴.
∴HG·HB=HF2=2+.
23.(1)证明 由E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,可知CF=BE,
故Rt△ABE≌Rt△BCF,∴∠BAE=∠CBF.
又∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠CBF+∠BEA=90°,∴∠BGE=90°,∴AE⊥BF.
(2)解 根据题意得FP=FC,∠PFB=∠BFC,∠FPB=90°.
∵CD∥AB,∴∠CFB=∠ABF,
∴∠ABF=∠PFB,∴QF=QB.
令PF=k(k>0),则PB=2k,
在Rt△BPQ中,设QB=x,
∴x2=(x-k)2+4k2,∴x=,
∴sin∠BQP=.
(3)解 ∵正方形ABCD的面积为4,∴AB=2,S△ABE=S△AHM=1.由题意得∠BAE=∠EAM,
又AE⊥BF,∴AN=AB=2.
∵∠AHM=90°,∴GN∥HM,
∴,∴,
∴S△AGN=,
∴S四边形GHMN=S△AHM-S△AGN=1-,
故四边形GHMN的面积是.
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