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第21课时　与圆有关的位置关系
第六章
2026
内容索引
01
基础自主导学
02
规律方法探究
基础自主导学
考点一　点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系,主要根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系得出.具体关系如下表:
d与r的数量关系 点与圆的位置关系
d>r 点在圆外
d=r 点在圆上
d考点二　直线与圆的位置关系
1.相离:如果直线和圆没有公共点,那么称直线与圆相离.
2.相切:如果直线和圆只有一个的公共点,那么称直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.
3.相交:如果直线和圆有两个公共点,那么称直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.
4.直线与圆有三种位置关系,具体的位置关系取决于圆心O到直线l的距离d和☉O的半径r之间的大小关系,几种位置关系的区别如下表:
直线与圆的位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0 1 2
公共点名称 无 切点 交点
直线名称 无 切线 割线
圆心到直线的距离d与半径 r的大小关系 d>r d=r d考点三　切线的判定和性质
1.切线的判定方法
(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(切线的定义);(2)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;(3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(切线的判定定理).
2.切线的性质
(1)切线与圆只有一个公共点;(2)圆心到切线的距离等于半径;(3)切线垂直于过切点的半径.
3.切线长
(1)定义:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.
(2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
考点四　三角形的内切圆与三角形的外接圆
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,这个三角形叫做圆的外切三角形,这个圆的圆心叫做三角形的内心.
2.三角形外心、内心有关知识的比较
图形 名称 性质 位置 角度关系
外心(三角形三边垂直平分线的交点) 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 外心不一定在三角形内 ∠BOC=2∠A
内心(三角形三条内角平分线的交点) 三角形的内心到三角形三边的距离相等 内心一定在三角形内部 ∠BOC=
90°+ ∠A
规律方法探究
命题点1
点与圆的位置关系
【例1】 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3 cm,AC=4 cm,以B为圆心,BC为半径作☉B,则点A,C及AB,AC的中点D,E与☉B有怎样的位置关系
分析:先求出点A,C,D,E与圆心B的距离,再与半径3 cm 进行比较.
命题点2
直线与圆的位置关系
【例2】 如图,在平面直角坐标系中,☉O的半径为1,则直线y=x- 与☉O的位置关系是(　　)
A.相离
B.相切
C.相交
D.以上三种情况都有可能
答案:B
变式训练1 如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是(　　)
A.8≤AB≤10 B.8C.4≤AB≤5 D.4答案:A
命题点3
切线的性质的应用
【例3】 (1)如图①,AB是☉O的弦,PA是☉O的切线,A是切点,如果∠PAB=30°,那么∠AOB=　　　　　;
(2)如图②,AB是☉O的直径,DC切☉O于点C,连接CA,CB,如果AB=12 cm,
∠ACD=30°,那么AC=　　　　　 cm.
图①
图②
解析:(1)由于△OAB为等腰三角形,要求∠AOB,即需求∠OAB.因为PA是☉O的切线,所以∠OAB+∠PAB=90°,所以∠OAB=90°-30°=60°,所以△OAB为等边三角形,所以∠AOB=60°.
(2)连接OC.因为CD是☉O的切线,所以OC⊥CD,而∠ACD=30°,所以∠ACO=60°,所以△AOC是等边三角形,所以AC=OA= AB= ×12=6(cm).
答案:(1)60°　(2)6
变式训练2如图,直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C,且AB=2,AD=1,点P在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时,∠ABP的度数为(　　)
A.15° B.30° C.60° D.90°
答案:B
命题点4
切线的判定
【例4】 如图,AB是☉O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在☉O上,∠CAB=30°,求证:DC是☉O的切线.
分析:欲证DC是☉O的切线,由于直线CD与☉O有公共点C,因此连接OC,BC,易知△OCB为等边三角形,由CB=OB=BD可得OC⊥CD.
证明:如图,连接OC,BC.∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°.
∵OB=OC,
∴△BOC为等边三角形,
∴BC=OB.
又OB=BD,
∴BC=BD,
∴△BCD为等腰三角形.
又∠CBD=180°-∠ABC=120°,
∴∠BCD=30°.
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°,
∴OC⊥CD.
∵点C在☉O上,
∴DC是☉O的切线.
命题点5
三角形的内切圆
【例5】 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则△ABC的内切圆半径r=　　　　　.
答案:2

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