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第22课时　与圆有关的计算
第六章
2026
内容索引
01
基础自主导学
02
规律方法探究
基础自主导学
考点一　弧长、扇形面积的计算
1.如果弧长为l,圆心角的度数为n°,圆的半径为r,那么弧长的计算公式为
2.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形.若扇形的圆心角为n°,所在圆半径为r,弧长为l,面积为S,则 ;扇形的周长为2r+l.
考点二　圆柱和圆锥
1.圆柱的侧面展开图是矩形,这个矩形的一边长等于圆柱的底面圆的周长,另一邻边长等于圆柱的高.如果圆柱的底面圆半径是r,高是h,那么S侧=2πrh,S全=2πr2+2πrh.
2.圆锥的轴截面是由母线、底面直径组成的等腰三角形.圆锥的侧面展开图是一个扇形,扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.因此圆锥的侧面积:S侧= l·2πr=πrl(l为母线长,r为底面圆半径);圆锥的全面积:S全=S侧+S底=πrl+πr2.
考点三　不规则图形面积的计算
求与圆有关的不规则图形的面积时,最基本的思想就是转化思想,即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有:
(1)直接用公式求解.
(2)将所求面积分割后,利用规则图形的面积求解.
(3)将阴影中某些图形等积变形后移位,重组成规则图形求解.
(4)将所求面积分割后,利用旋转,将部分阴影图形移位后,组成规则图形求解.
考点四　正多边形和圆的相关概念
1.外切多边形:和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.
2.一个正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心;外接圆的半径叫正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角;中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
规律方法探究
命题点1
弧长、扇形的面积
【例1】 如图,☉O的半径等于1,弦AB和半径OC互相平分交于点M,求扇形OACB的面积(结果保留π).
命题点2
圆柱和圆锥
【例2】 如图,已知圆锥的底面半径为5 cm,侧面积为65π cm2,设圆锥的母线与高的夹角为θ(如图),则sin θ的值为(　　)
解析:由圆锥的侧面积为65π cm2,底面半径为5 cm,可得圆锥的母线长为13 cm.
由三角函数知识可知sin θ= ,
故选B.
答案:B
变式训练1一个圆锥的底面半径为3 cm,侧面展开图是半圆,则圆锥的侧面积是　　　　　 cm2.
答案:18π
命题点3
不规则图形的面积
【例3】 如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,∠APB=60°,连接AO,BO.
(1) 所对的圆心角∠AOB=　　　　　;
(2)求证:PA=PB;
(3)若OA=3,求阴影部分的面积.
解:(1)120
(2)证明:连接OP.
∵PA,PB分别切☉O于点A,B,
∴∠OAP=∠OBP=90°.
∵OA=OB,OP=OP,
∴Rt△OAP≌Rt△OBP,
∴PA=PB.
命题点4
正多边形的有关计算
【例4】 若一个正六边形的周长为24,则该正六边形的面积为　　　　　.
解析:如图,因为∠AOB=360°÷6=60°,OA=OB,所以△AOB为等边三角形,且三条对角线把正六边形分成了六个全等的等边三角形,
答案:B

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