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第17课时　解直角三角形
第四章
2026
内容索引
01
基础自主导学
02
规律方法探究
基础自主导学
考点一　锐角三角函数定义
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
考点二　特殊角的三角函数值
考点三　解直角三角形
1.解直角三角形的定义
由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角.已知元素中,至少有一个是边的条件,才能解直角三角形.
2.直角三角形的边角关系
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
(1)三边之间的关系:a2+b2=c2;
(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;
3.解直角三角形的几种类型及解法
考点四　解直角三角形的应用
1.仰角与俯角
在进行观察时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.
2.坡角与坡度(坡比)
坡角是坡面与水平面所成的角;坡度是斜坡上两点垂直高度与水平距离之比,常用i表示,也就是坡角的正切值,坡角越大,坡度越大,坡面越陡.
规律方法探究
命题点1
锐角三角函数的定义
于是,设BC=4a,AB=5a(a>0).
在Rt△ABC中,
由勾股定理可得AC=3a.
答案:B
命题点2
特殊角的三角函数值
命题点3
解直角三角形
【例3】 如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别在AC,AB上,BD平分∠ABC,DE⊥AB,AE=6,cos A=
求:(1)DE,CD的长;(2)tan∠DBC的值.
解:(1)∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°.
又DE⊥AB,DC⊥BC,BD平分∠ABC,
∴DC=DE=8.
命题点4
解直角三角形在实际中的应用
【例4】 如图,在一次数学课外实践活动中,要求测教学楼的高度AB.小刚在D处用高1.5 m的测角仪CD,测得教学楼顶端A的仰角为30°,然后向教学楼前进40 m到达E处,又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这幢教学楼的高度AB.
变式训练如图,某施工单位为测得某河段的宽度,测量员先在河对岸岸边取一点A,再在河这边沿河边取两点B,C,在点B处测得点A在北偏东30°方向上,在点C处测得点A在西北方向上,量得BC长为200 m,请你求出该河段的宽度.(结果保留根号)
解:如图,过点A作AD⊥BC于点D.
根据题意,得∠ABD=90°-30°=60°,∠ACD=45°.
∴∠CAD=45°,∴∠ACD=∠CAD,∴AD=CD,
∴BD=BC-CD=200-AD.

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