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(共29张PPT)
第11课时　反比例函数
第三章
2026
内容索引
01
基础自主导学
02
规律方法探究
基础自主导学
考点一　反比例函数的概念
一般地,形如 (k为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数.自变量x的取值范围是x≠0,函数图象与x轴、y轴无交点.
注意:反比例函数的表达式除y= (k≠0)外,还可以写成y=kx-1或xy=k(k≠0).
考点二　反比例函数的图象与性质
1.图象
反比例函数的图象是双曲线.
2.性质
(1)当k>0时,双曲线的两支分别在第一、第三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,双曲线的两支分别在第二、第四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大.注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近,但永远不能相交.(2)双曲线是轴对称图形,直线y=x或y=-x是它的对称轴;双曲线也是中心对称图形,对称中心是坐标原点.
考点三　反比例函数y= (k≠0)中k的几何意义
1.如图,过双曲线上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.
∴S=|k|,即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的矩形面积为|k|.
2.如上图,过双曲线上的任意一点E作EF垂直于其中一坐标轴,垂足为F,连接EO,则S△EOF= ,即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点与原点,所得三角形的面积为
考点四　用待定系数法求反比例函数解析式
利用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是:
(1)设出反比例函数的解析式;
(2)将适合函数的x与y的值代入所设的反比例函数解析式;
(3)计算出k值;
(4)将所得的k值代入一开始所设出的函数解析式.
规律方法探究
命题点1
反比例函数的概念
【例1】 当m为何值时, 是反比例函数
分析:反比例函数的解析式y= (k≠0)也可以写成y=kx-1(k≠0)的形式,后一种表达方式中x的次数为-1.
由此可知要使函数 是反比例函数,要具备的两个条件为m2-2=-1,且m-1≠0,二者必须同时满足,缺一不可.
命题点2
反比例函数的图象与性质
【例2】 已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数y= 的图象上.则下列结论正确的是(　　)
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2
C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1
解析:因为-k2-1<0,所以两个分支在第二、第四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.当x=-1时,y1>0.因为0<2<3,所以y2y3>y2.
答案:B
变式训练在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx-k与反比例函数y= (k≠0)的图象大致是(　　)
答案:A
命题点3
反比例函数y= (k≠0)中k的几何意义
【例3】 在平面直角坐标系中,若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线
于A,B两点,P是x轴上任意一点,则△PAB的面积等于　　　　　.
解析:(方法一)设直线l交y轴于点C,如图,连接PC,OA,OB.
∴S△PAB=S△PAC+S△PBC=S△OAC+S△OBC=3+1=4.
答案:4
命题点4
反比例函数解析式的确定
【例4】 如图,若函数y= (x>0)的图象与边长为5的等边三角形AOB的边OA,AB分别相交于C,D两点,且OC=3BD,则实数k的值为　　　　　.
解析:如图,过点C作CE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F,
命题点5
反比例函数与一次函数的综合运用
【例5】 如图,在平面直角坐标系中,点A是反比例函数y1= (x>0)图象上的一点,AB⊥x轴的正半轴于点B,C是OB的中点;一次函数y2=ax+b的图象经过A,C两点,并交y轴于点D(0,-2),若S△AOD=4.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)观察图象,请指出在y轴的右侧,当y1>y2时,x的取值范围.
解:(1) 过点A作AE⊥y轴于点E,
∵S△AOD=4,OD=2,
∴ OD·AE=4.
∴AE=4.
∵AB⊥OB,C为OB的中点,
∴∠DOC=∠ABC=90°,OC=BC,∠OCD=∠BCA.
∴△DOC≌△ABC.
∴AB=OD=2.
∴A(4,2).
(2)在y轴的右侧,当y1>y2时,0命题点6
反比例函数的实际应用
【例6】 对某房间进行“熏药消毒”.已知药物在燃烧释放过程中,室内空气中每立方米含药量y(单位:mg)与燃烧时间x(单位:min)之间的关系如图(即图中线段OA和双曲线在点A及其右侧的部分),根据图象所示信息,解答下列问题:
(1)写出从药物释放开始,y与x之间的函数解析式及自变量的取值范围.
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于2 mg时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在多长时间内,不能进入该房间
解得x=75.
答:从药物释放开始,至少在75 min内不能进入该房间.

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