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(共18张PPT)
第6课时　一元二次方程
第二章
2026
内容索引
01
基础自主导学
02
规律方法探究
基础自主导学
考点一　一元二次方程的概念
1.定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)整式方程,叫做一元二次方程.
2.一般形式
一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0).
考点二　一元二次方程的解法
1.开平方法
当二次项系数不为1时,先在方程两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1.
3.公式法
4.因式分解法
一般步骤:
(1)将方程的右边各项移到左边,使右边为0;
(2)将方程左边分解为两个一次因式乘积的形式;
(3)令每个因式为0,得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
考点三　一元二次方程根的判别式
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac,记为Δ.
(1)b2-4ac>0 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.
(2)b2-4ac=0 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.
(3)b2-4ac<0 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
*考点四　一元二次方程根与系数的关系
1.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,那么有x1+x2=
-p,x1x2=q.
2.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,那么有
考点五　一元二次方程的实际应用
列一元二次方程解实际问题的一般步骤:
(1)弄清题意,确定适当的未知数;
(2)寻找等量关系;
(3)列出方程,注意方程两边的代数式的单位要相同;
(4)解方程,检验并写出答案.
规律方法探究
命题点1
一元二次方程的解法
【例1】 解方程x(x+6)=16.
解法一x2+6x=16,即x2+6x-16=0.
∴(x+8)(x-2)=0.∴x+8=0或x-2=0,解得x1=-8,x2=2.
解法二x2+6x=16,即x2+6x-16=0.
∵a=1,b=6,c=-16,
∴b2-4ac=36+64=100.
命题点2
一元二次方程根的判别式
【例2】 已知关于x的一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(　　)
解析:根据题意,得(2m+1)2-4(m-2)2>0,且m-2≠0,解得m> ,且m≠2,故选C.
答案:C
命题点3
一元二次方程根与系数的关系
【例3】 已知关于x的一元二次方程x2-6x+k+1=0的两个实数根分别是x1,x2,且 =24,则k的值是(　　)
A.8 B.-7 C.6 D.5
解析: =(x1+x2)2-2x1x2 =24,把x1+x2=6,x1x2=k+1代入,解得k=5.
此时原方程为x2-6x+6=0,判别式为36-24=12>0,所以原方程有实数根,所以k=5符合题意.
答案:D
命题点4
一元二次方程的实际应用
【例4】 如图,用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形,其中正五边形的边长为(x2+17)cm,正六边形的边长为(x2+2x)cm(其中x>0).求这两段铁丝的总长.
解:由已知得,正五边形周长为5(x2+17)cm,正六边形周长为6(x2+2x)cm.
因为正五边形和正六边形的周长相等,
所以5(x2+17)=6(x2+2x).
整理,得x2+12x-85=0,
配方,得(x+6)2=121,
解得x1=5,x2=-17(舍去).
故正五边形的周长为5×(52+17)=210(cm).
又两段铁丝等长,所以这两段铁丝的总长为420 cm.

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