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第16课时　直角三角形
第四章
2026
内容索引
01
基础自主导学
02
规律方法探究
基础自主导学
考点一　直角三角形的性质
1.直角三角形的两锐角互余.
2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
4.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
考点二　直角三角形的判定
1.有一个角等于90°的三角形是直角三角形.
2.有两角互余的三角形是直角三角形.
3.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,则该三角形是直角三角形.
4.勾股定理的逆定理:如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形.
规律方法探究
命题点1
勾股定理
【例1】 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长.
解:设CD长为x cm,由折叠得△ACD≌△AED.
∴AE=AC=6 cm,∠AED=∠C=90°,DE=CD=x cm.
在Rt△ABC中,AC=6 cm,BC=8 cm,
∴EB=AB-AE=10-6=4(cm),BD=BC-CD=(8-x)cm.
在Rt△DEB中,由勾股定理得DE2+BE2=DB2.∴x2+42=(8-x)2,解得x=3.
∴CD的长为3 cm.
变式训练有一块直角三角形的绿地,量得两直角边的长分别为6 m,8 m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.
解:在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,由勾股定理得AB= =10,扩充部分为Rt△ACD,扩成等腰三角形ABD,应分以下三种情况:
(1)如图①,当AB=AD=10时,可求得CD=CB=6,故△ABD的周长为32 m.
图①
图②
图③
(2)如图②,当AB=BD=10时,可求得CD=4,由勾股定理得
(3)如图③,当AB为底时,设AD=BD=x,则CD=x-6,
命题点2
勾股定理的逆定理
【例2】 如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=4,CD=13,CB=12,求四边形ABCD的面积.
在△BCD中,CD=13,CB=12,BD=5,
∴CB2+BD2=CD2.∴∠DBC=90°.
命题点3
勾股定理的实际应用
【例3】 如图,铁路上A,B两站(视为直线上两点)相距14 km,C,D为两村庄(可看为两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=8 km,CB=6 km,现要在铁路上建一个土特产收购站E,使C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米处
分析:因为DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,在AB上找一点可构成两个直角三角形,我们可想到通过勾股定理列方程进行求解.
解:设E站应建在距A站x km处.
根据勾股定理有82+x2=62+(14-x)2,解得x=6.
所以E站应建在距A站6 km处.
命题点4
直角三角形性质的综合应用
【例4】 已知在△ABC中,AB=AC,过点A的直线α从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ,直线α交BC边于点P(点P不与点B、点C重合),△BMN的边MN始终在直线α上(点M在点N的上方),且BM=BN,连接CN.
(1)当∠BAC=∠MBN=90°时,
①如图a,当θ=45°时,∠ANC的度数为　　　　　;
②如图b,当θ≠45°时,①中的结论是否发生变化 说明理由.
(2)如图c,当∠BAC=∠MBN≠90°时,请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系,不必证明.
分析:在(1)中,①由AB=AC,∠BAC=∠MBN=90°,θ=45°,可得AN垂直平分BC,同理可得BC垂直平分AN,因此AC=CN,所以有∠ANC=θ=45°;②求角的度数,一般要想办法把它放到直角三角形中进行,因此可分别过B,C两点作MN的垂线,用三角形全等作为桥梁找到解决问题所需要的边角关系;(2)根据②的思路得出结论.
解:(1)①45°;②不变.
理由:过B,C分别作BD⊥AP于点D,CE⊥AP于点E.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠EAC=90°.
∵BD⊥AE,
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°,
∴∠ABD=∠EAC.
又AB=AC,∠ADB=∠CEA=90°,
∴△ABD≌△CAE,
∴AD=CE,BD=AE.
∵BD是等腰直角三角形NBM斜边上的高,
∴BD=DN,∠BND=45°,
∴DN=BD=AE,
∴DN-DE=AE-DE,即NE=AD=EC.
∵∠NEC=90°,
∴∠ANC=45°.
(2)∠ANC=90°- ∠BAC.

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