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第13课时　几何初步知识及相交线、平行线
第四章
2026
内容索引
01
基础自主导学
02
规律方法探究
基础自主导学
考点一　直线、射线和线段
1.直线、射线和线段的基本特征及表示方法
线 端点个数 长度 图形 表示方法
直线 0 无法度量 直线AB(或BA)
射线 1 无法度量 射线AB
线段 2 可度量 线段AB(或BA)
2.直线的数学基本事实:经过两点有一条直线,并且只有一条直线.简称:两点确定一条直线.
3.线段的数学基本事实:两点的所有连线中,线段最短.
4.两点间的距离:连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离.
5.线段的中点:把一条线段分成两条相等的线段的点.
考点二　角
1.(1)静态定义:有公共端点的两条射线组成的图形.
(2)动态定义:角可以看作是一条射线绕着它的端点从起始位置(角的始边)旋转到终止位置(角的终边)所形成的图形.
2.度量:角的度量单位为度、分、秒,即1°=60',1'=60″;1周角=2平角=4直角=360°.
3.角的平分线:从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线.
4.(1)互余:如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角,即其中每一个角是另一个角的余角.
(2)互补:如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角.
(3)余角与补角的性质:同角(等角)的余角相等;同角(等角)的补角相等.
考点三　相交线
1.对顶角:
(1)定义:两条直线相交组成的四个角中,有公共顶点且没有公共边的两个角叫做对顶角.
(2)性质:对顶角相等.
2.邻补角:
(1)定义:两条直线相交组成的四个角中,有公共边的两个角叫邻补角.
(2)性质:邻补角互补.
3.三线八角:在同一平面内,两条直线被第三条直线所截所得的八个角称为“三线八角”.这八个角依照其相应位置的不同分别有不同的名称(如右图).
(1)同位角:若两个角分别在两条直线相同的一侧,且都在截线的同旁,则称此两角为同位角(如图中的∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8).同位角的形状像字母F.
(2)内错角:若两个角位置交错,且都在两条直线之间,则称此两角为内错角(如图中的∠2和∠8,∠3和∠5).内错角的形状像字母Z.
(3)同旁内角:若两个角都在两条直线之间,且在截线的同旁,则称此两角为同旁内角(如图中的∠2和∠5,∠3和∠8).同旁内角的形状像字母U或门框形.
考点四　垂线
1.垂直的定义:两直线相交组成的四个角中,有一个角是直角,则这两条直线互相垂直,其中一条直线是另一条直线的垂线.
2.垂线段的定义:如图,P为直线l外一点,PO⊥l,垂足为O,线段PO叫做垂线段,A,B为直线l上的两点,线段PA,PB叫做斜线段.
3.性质:(1)数学基本事实:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
(2)定理:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
4.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
考点五　平行线
1.定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.用符号“∥”表示.
2.两条直线的位置关系:在同一平面内,两条直线的位置关系有两种(不考虑重合):相交、平行.
3.平行的数学基本事实:经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.
平行的传递性:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相
平行.
4.判断两条直线平行的方法:(1)平行线的定义;(2)平行的传递性;(3)同位角相等,两直线平行;(4)内错角相等,两直线平行;(5)同旁内角互补,两直线平行.
5.平行线的性质:(1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补.
规律方法探究
命题点1
直线、射线、线段
【例1】 在直线l上任取一点A,截取AB=16 cm,再截取AC=40 cm,求AB的中点D与AC的中点E的距离.
解:(1)当点C在AB的延长线上时,如图.
因为D是AB的中点,AB=16 cm,
所以DE=AE-AD=20-8=12(cm).
(2)当点C在BA的延长线上时,如图.
由(1)知AD=8 cm,AE=20 cm.
则DE=AE+AD=20+8=28(cm).
综上可知,点D与点E的距离是12 cm或28 cm.
命题点2
角的计算
【例2】 如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于点O,OF平分∠AOE,
∠1=15°30',则下列结论中不正确的是(　　)
A.∠2=45°
B.∠1=∠3
C.∠AOD与∠1互为补角
D.∠1的余角等于75°30'
解析:由题意,得∠2= ∠AOE=45°,
故选项A正确;
利用对顶角性质,知选项B正确;
利用互为邻补角定义,知选项C也正确;
而根据互为余角的定义知,∠1的余角等于90°-∠1=90°-15°30'
=74°30',
故选项D不正确.
答案:D
命题点3
平行线的相关问题
【例3】 如图,直线m∥n,Rt△ABC的顶点A在直线n上,∠C=90°.若∠1=25°,∠2=70°,则∠B=　　　　　.
解析:∵m∥n,∴∠2=∠BAC+∠1,
∴∠BAC=∠2-∠1=45°,
∴∠B=90°-∠BAC=45°.
答案:45°
变式训练如图,AB∥CD,∠E=40°,∠A=110°,则∠C的度数为(　　)
A.60° B.80° C.75° D.70°
答案:D

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