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第5课时　一次方程(组)
第二章
2026
内容索引
01
基础自主导学
02
规律方法探究
基础自主导学
考点一　等式及方程的有关概念
1.等式及其性质
(1)用等号“=”来表示相等关系的式子,叫做等式.
(2)等式的性质:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等;等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
2.方程的有关概念
(1)含有未知数的等式叫做方程.
(2)解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.
考点二　一元一次方程
1.只含有一个未知数(元),未知数的次数都是 1 ,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.
2.解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;
(4)合并同类项;(5)系数化为1.
考点三　一次方程组的有关概念
1.二元一次方程
(1)概念:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,这样的方程叫做二元一次方程.
(2)一般形式:ax+by+c=0(a≠0,b≠0).
(3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
(4)解的特点:一般地,二元一次方程有无数个解.
2.二元一次方程组
(1)概念:方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.
(3)二元一次方程组的解.
一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
3.三元一次方程组
方程组含有三个未知数,每个方程中含有未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
考点四　一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的基本思想是消元,即化二元一次方程组为一元一次方程,主要方法有代入消元法和加减消元法.
(1)用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤:①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形,用含有x(或y)的代数式表示出y(或x),即变成y=ax+b(或x=ay+b)的形式;②将y=ax+b(或x=ay+b)代入另一个方程,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元一次方程;③解这个一元一次方程,求出x(或y)的值;④把x(或y)的值代入y=ax+b(或x=ay+b)中,求y(或x)的值.
(2)用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤:①在二元一次方程组中,若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数),则可以直接相减(或相加),消去一个未知数;②在二元一次方程组中,若不存在①中的情况,则可选一个适当的数去乘方程的两边,使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数),再把方程两边分别相减(或相加),消去一个未知数;③解这个一元一次方程;④将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程,求出另一个未知数.
2.解三元一次方程组的基本思路是:通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程.
考点五　列方程(组)解决实际问题
步骤:(1)设未知数;(2)列出方程(组);(3)解方程(组);(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义;(5)写出答案(包括单位名称).
规律方法探究
命题点1
方程的解
【例1】 已知x=2是关于x的方程 x-2a=0的解,则2a-1的值为(　　)
A.3 B.4 C.2 D.6
解析:利用方的程解的概念,可以将关于x的方程转化为关于a的方程,求出a的值,进而求得2a-1的值.
C
命题点2
一元一次方程的解法
解:去分母,得2(2x+1)-(10x+1)=6,
去括号,得4x+2-10x-1=6,
移项,得4x-10x=6-2+1,
合并同类项,得-6x=5,
系数化为1,得x=-
命题点3
二元一次方程组的有关概念
①+②得a+b=-4,
①-②得5a-5b=10 ,所以a-b=2.
故(a+b)(a-b)=-4×2=-8.
答案:-8
命题点4
二元一次方程组的解法
解:(方法一)用加减消元法解方程组.
①×2,得6x-2y=10,③
②+③,得11x=33,
解得x=3.
把x=3代入①,得9-y=5,
解得y=4.
(方法二)用代入消元法解方程组.
由①,得y=3x-5,④
把④代入②,得5x+2(3x-5)=23,
即11x=33,
解得x=3.
把x=3代入④,得y=4.
命题点5
列方程(组)解决实际问题
【例5】 如图,某化工厂与A,B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批1 000元/吨的原料运回工厂,制成8 000元/吨的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(吨·千米),铁路运价为1.2元/(吨·千米),且这两次运输共支出公路运输费15 000元,铁路运输费97 200元.
(1)该工厂从A地购买了多少吨原料 制成运往B地的产品多少吨
(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元
解:(1)设工厂从A地购买了x吨原料,制成运往B地的产品y吨.
故工厂从A地购买了400吨原料,制成运往B地的产品300吨.
(2)依题意,得300×8 000-400×1 000-15 000-97 200=1 887 800(元).
故这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元.

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