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第14课时　三角形与全等三角形
第四章
2026
内容索引
01
基础自主导学
02
规律方法探究
基础自主导学
考点一　三角形的有关概念
1.三角形:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形.
2.分类
考点二　三角形的性质
1.三角形的三边关系:三角形两边的和大于第三边;三角形两边的差小于第三边.
2.三角形的外角及其外角和
(1)外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角.
(2)外角和:三角形的外角和是360°.
3.三角形的内角和定理及推理
(1)三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
(2)推论:①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和;②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角;③直角三角形的两锐角互余.
4.三角形具有稳定性.
考点三　三角形中的重要线段
1.三角形的角平分线
三角形一个角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.特性:三角形的三条角平分线交于一点,这个点叫做三角形的内心.
2.三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称高.特性:三角形的三条高所在的直线相交于一点,这个点叫做三角形的垂心.
3.三角形的中线
在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.特性:三角形的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心.
4.三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
考点四　全等三角形的性质与判定
1.概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2.性质
全等三角形的对应边、对应角分别相等.
3.判定
(1)三边分别相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.
(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,简写为“边角边”或“SAS”.
(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,简写为“角边角”或“ASA”.
(4)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写为“角角边”或“AAS”.
(5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写为“斜边、直角边”或“HL”.
考点五　定义、命题、定理、公理
1.定义
对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义.
2.命题
判断一件事情的语句叫做命题.
(1)命题由题设和结论两部分组成.命题通常写成“如果……那么……”的形式,“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论.
(2)真命题与假命题:如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做
真命题;题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.
3.定理
经过证明的真命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题,所以不是所有的定理都有逆定理.
4.公理
有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真伪的依据,这样的真命题叫公理.
(3)互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题称为互逆命题.每一个命题都有逆命题.
考点六　证明
1.证明
在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断,这个推理过程叫做证明.
2.证明的一般步骤
(1)审题,找出命题的题设和结论;(2)由题意画出图形,具有一般性;(3)用数学语言写出已知、求证;(4)分析证明的思路;(5)写出证明过程,每一步应有根据,要推理严密.
3.反证法
假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.
规律方法探究
命题点1
三角形的边角关系
【例1】 若三角形三边长分别为3,4,x-1,则x的取值范围是(　　)
A.0C.0解析:已知三角形两边a,b的长,确定第三边c的取值范围,c应满足
|a-b|根据三角形的三边关系,
得1所以2答案:B
命题点2
利用“三线”的性质解题
【例2】 如图,BM是△ABC的一条中线,AB=5 cm,BC=3 cm.
求:(1)△ABM与△BCM的周长之差;
(2)S△ABM∶S△CBM.
分析:(1)根据中线的定义得到AM=MC,然后将△ABM和△BCM的周长分别表示出来再求差;(2) 先分别以AM和MC为底,作出它们的高, 再分别表示出△ABM和△BCM的面积,然后求比值.
解:(1)∵AM=MC,∴△ABM与△BCM的周长之差=AB+AM+BM-(BM+BC+MC)=AB-BC=5-3=2(cm).
(2)如图,过点B作BH⊥AC,交AC的延长线于点H.
∵AM=MC,
变式训练1已知在△ABC中,AB=AC,且周长为16 cm,AD是底边BC上的中线,AD∶AB=4∶5,且△ABD的周长为12 cm,求△ABC各边的长及AD的长.
解:AB=AC=5 cm,BC=6 cm,AD=4 cm.
命题点3
全等三角形的性质与判定
【例3】 如图,C是线段AB的中点,CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE.
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)若∠D=50°,求∠B的度数.
分析:本题综合考查三角形的全等及性质,利用“SAS”判定△ACD≌△BCE后,再利用性质可得到∠E=50°,从而求出∠B.
(1)证明:∵C是线段AB的中点,
∴AC=BC.
∵CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,
∴∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3.
又CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
(2)解:∵∠1=∠2,∠2=∠3,
∴∠1=∠2=∠3.∴∠3=60°.
由△ACD≌△BCE,得∠D=∠E.
∵∠D=50°,∴∠E=50°.
则∠B=180°-∠E-∠3=180°-50°-60°=70°.
变式训练2如图,已知D是AC上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE.求证:BC=AE.
证明:∵DE∥AB,∴∠CAB=∠ADE.
在△ABC与△DAE中,
∴△BAC≌△ADE(ASA),∴BC=AE.
命题点4
真、假命题的判断
【例4】 下列命题是真命题的是(　　)
A.如果|a|=|b|,那么a=b
B.等腰梯形的对角线互相垂直
C.顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
D.相等的圆周角所对的弧相等
解析:选项A中命题为假命题,例如:|-2|=|2|,但-2≠2;选项B中命题为假命题,等腰梯形的对角线可能垂直,但并不是所有的等腰梯形的对角线都垂直;选项C中命题为真命题,可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到;选项D中命题为假命题,相等的圆周角所对的弧相等,必须是在同圆或等圆中.
答案:C

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