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(共38张PPT)
第12课时　二次函数
第三章
2026
内容索引
01
基础自主导学
02
规律方法探究
基础自主导学
考点一　二次函数的概念
一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.任意一个二次函数都可化成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,因此y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数的一般形式.
注意:1.二次项系数a≠0;2.ax2+bx+c必须是整式;3.一次项系数可以为零,常数项也可以为零,一次项系数和常数项可以同时为零;4.自变量x的取值范围是全体实数.
考点二　二次函数的图象及性质
式子 式子的取值范围 图象的特征
a a>0 开口向上
a<0 开口向下
b b=0 对称轴为 y轴
ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧
ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧
考点三　二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)图象的特征与a,b,c及
b2-4ac的取值范围之间的关系
式子 式子的取值范围 图象的特征
c c=0 经过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
b2- 4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一公共点(顶点)
b2-4ac>0 与x轴有两个公共点
b2-4ac<0 与x轴没有公共点
考点四　二次函数图象的平移
抛物线y=ax2与y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=a(x-h)2+k中a相同,则图象的形状和大小都相同,只是位置不同.它们之间的平移关系如下:
考点五　二次函数解析式的确定
1.设一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)
若已知条件是图象上三个点的坐标,则设一般式y=ax2+bx+c(a≠0),将已知条件代入,求出a,b,c的值.
2.设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)
(a≠0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数a,最后将关系式化为一般式.
3.设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0)
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数化为一般式.
考点六　二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,就变成了ax2+bx+c=0(a≠0).
2.ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标.
3.当Δ=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个不同的公共点;当Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个公共点;当Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有公共点.
4.设抛物线y=ax2+bx+c与x轴两公共点坐标分别为A(x1,0),B(x2,0),则
考点七　二次函数的应用
1.二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型,这就需要认真审题、理解题意,利用二次函数解决实际问题,应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题.
2.建立平面直角坐标系,把代数问题与几何问题进行互相转化,充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题,求二次函数的解析式是解题关键.
规律方法探究
命题点1
二次函数的图象及性质
【例1】 (1)二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是(　　)
A.(-1,8) B.(1,8)
C.(-1,2) D.(1,-4)
(2)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=1,且经过点(-1,y1),(2,y2),试比较y1和y2的大小:y1 y2.(填“>”“<”或“=”)
答案:(1)A　(2)>
解析:(1)由题意可得,a=-3,b=-6,c=5,则
=8.所以二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是(-1,8).
故选A.
(2)设抛物线经过点(0,y3),因为抛物线的对称轴为直线x=1,所以点(0,y3)与点(2,y2)关于直线x=1对称,所以y3=y2.又a>0,所以当x<1时,y随x的增大而减小,所以y1>y3.故y1>y2.
命题点2
【例2】 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2.则下列结论正确的有(　　)
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>-1时,y的值随x值的增大而增大.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象判断与a,b,c有关的式子的符号
解析:因为对称轴为直线x=2,所以- =2,所以4a+b=0,所以①正确;
答案:B
因为当x=-3时,y<0,即9a-3b+c<0,所以9a+c<3b,所以②错误;易知a<0,b>0,c>0,又因为4a+b=0,所以8a+7b+2c=-2b+7b+2c=5b+2c>0,所以③正确;由题中图象可知,当x>2时,y的值随x值的增大而减小,所以④错误.
所以正确的有2个.故选B.
变式训练已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,有下列结论:
①b2-4ac>0;②abc>0;
③8a+c>0;④9a+3b+c<0.
其中,正确结论的个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:D
命题点3
二次函数图象的平移
【例3】 将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线对应函数的解析式为(　　)
A.y=(x-1)2+4 B.y=(x-4)2+4
C.y=(x+2)2+6 D.y=(x-4)2+6
解析:∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2,
∴将其图象向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,所得图象对应函数的解析式为y=(x-1-3)2+2+2,
即y=(x-4)2+4.
故选B.
答案:B
命题点4
确定二次函数的解析式
【例4】 已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).
(1)求该抛物线对应函数的解析式;
(2)求该抛物线的顶点坐标.
解法一(1)设这个抛物线对应函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).
由已知抛物线经过A(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点,
解这个方程组,
解法二(1)设这个抛物线对应函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2).由点A和点B的坐标,得y=a(x+2)(x-1).
由点C的坐标,可得8=a×(2+2)×(2-1),解得a=2.
故y=2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4,
即所求抛物线对应函数的解析式为y=2x2+2x-4.
命题点5
求二次函数的最大(小)值
【例5】 已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象如图所示,当-5≤x≤0时,下列说法正确的是(　　)
A.有最小值-5,最大值0
B.有最小值-3,最大值6
C.有最小值0,最大值6
D.有最小值2,最大值6
解析:由二次函数的图象,得当x=-5时,y=-3;当x=-2时,y=6;当x=0时,y=2.
∵-5≤x≤0,∴-3≤y≤6.故选B.
答案:B
命题点6
二次函数与一元二次方程的关系
【例6】 若关于x的一元二次方程(x-2)·(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1≠x2,有下列结论:①x1=2,x2=3;②m>- ;③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中,正确结论的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:C
解析:因式分解求方程的解,右边应化为0,而现在方程右边为m,所以①错误;
关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m可化为x2-5x+6-m=0,则Δ=52-4(6-m)>0,可解出m> ,所以②正确;
二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m可化为y=x2-(x1+x2)x+x1x2+m,由根与系数的关系,x1+x2=5,x1x2=6-m,所以y=x2-5x+6-m+m,即y=x2-5x+6,此二次函数的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0),所以③正确.故选C.
命题点7
二次函数的实际应用
【例7】 某菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜,提供如下信息.
①统计售价与需求量的数据,通过描点(图(1)),发现该蔬菜需求量y需求(单位:吨)关于售价x(单位:元/千克)的函数图象可以看成抛物线,其解析式为y需求=ax2+c,部分对应值如下表:
售价x/(元/千克) … 2.5 3 3.5 4 …
需求量y需求/吨 … 7.75 7.2 6.55 5.8 …
②该种蔬菜供给量y供给(单位:吨)关于售价x(单位:元/千克)的函数解析式为y供给=x-1,函数图象见图(1).
③1~7月份该蔬菜售价x售价(单位:元/千克)、成本x成本(单位:元/千克)关于月份t的函数解析式分别为
图(1)
图(2)
请解答下列问题.
(1)求a,c的值.
(2)根据图(2),哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大 并说明理由.
(3)求该种蔬菜供给量与需求量相等时的售价,以及按此价格出售获得的总利润.
解:(1)把点(3,7.2),(4,5.8)的坐标分别代入y需求=ax2+c,
(2)由题图(2)可知,在4月出售这种蔬菜每千克获利最大.
理由:设这种蔬菜每千克获利w元.

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