资源简介

(共22张PPT)
专题六　方案设计题
第二板块
2026
内容索引
01
专题名师解读
02
热点考向例析
专题名师解读
同一个问题往往有多种不同的解决方案,但其中常常存在最科学、最合理的方案.方案设计题有利于考查学生的创新意识和实践能力,它已成为中考命题的一大热点.
方案设计问题大多取材于生活,命题背景富有浓厚的生活气息,有利于激发同学们学习数学的兴趣.它改变了只依赖模仿和记忆的“重结果,轻过程”的学习方式,培养了同学们动手操作和实践的能力,有助于帮助同学们养成在生活中应用数学的习惯.
方案设计问题在求解时,多会涉及几何、函数、方程、不等式以及概率等知识,其主要特征是要求在众多的可行方案中确定最佳方案或最优方案.
解决方案设计问题的一般方法是:阅读,了解问题的背景和要求;观察,结合生活经验寻找问题的等量关系与不等关系;建模,应用数学知识将问题转化为数学问题;解答,求解相关的数学问题;作答,根据实际意义,对所获得的结论进行归纳、比较,确定符合题目要求的最佳方案.
热点考向例析
考向一
利用方程(或不等式)、一次函数等知识进行方案设计
本类题是一类综合性较强的分析决策问题,涵盖了方程、不等式、一次函数等有关知识,考查学生的综合分析、归纳能力.
【例1】 某社区饮用水紧张,每天需从社区外调运饮用水120立方米.有关部门紧急部署,从甲、乙两水厂调运饮用水到该社区供水点,甲厂每天最多可调出80立方米饮用水,乙厂每天最多可调出90立方米饮用水.从两水厂运水到该社区供水点的路程和运费如下表:
水厂 到该社区供水点的路程/千米 运费/(元·立方米-1·千米-1)
甲厂 20 12
乙厂 14 15
(1)若某天调运水的总运费为26 700元,则从甲、乙两水厂各调运了多少立方米饮用水
(2)设从甲厂调运饮用水x立方米,总运费为W元,试写出W关于x的函数解析式,怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少
解:(1)设从甲厂调运饮用水a立方米,从乙厂调运饮用水b立方米,根据题意,
因为50<80,70<90,所以a=50,b=70符合题意.
故从甲、乙两水厂各调运了50立方米、70立方米饮用水.
(2)从甲厂调运饮用水x立方米,则需从乙厂调运饮用水(120-x)立方米,
解得30≤x≤80.
总运费W=20×12x+14×15(120-x)=30x+25 200(30≤x≤80).
因为W的值随x值的增大而增大,
所以当x=30时,W取得最小值,W最小值=30×30+25 200=26 100.
故每天从甲厂调运30立方米饮用水,从乙厂调运90立方米饮用水时,可使每天的总运费最少.
考向二
利用几何知识进行方案设计
利用几何知识进行方案设计,不仅要有一定的几何作图能力,而且要能熟练地运用几何的有关性质及全等、相似、图形变换、方程及三角函数的有关知识,并注意充分发挥分类讨论、类比归纳、猜想验证等数学思想方法的作用.
【例2】 一种电讯信号转发装置的发射直径为31 km,现要求:在一边长为30 km的正方形城区选择若干个安装点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号完全覆盖这个城区.
(1)能否找到这样的4个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求 在图①中画出安装点的示意图,用大写字母M,N,P,Q表示安装点,并简要说明理由;
(2)能否找到这样的3个安装点,使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求 在图②中画出示意图,并用大写字母M,N,P表示安装点,用计算、推理和文字来说明你的理由.
解:(1)如图①(图案设计不唯一).
故如此安装4个这种转发装置,能达到要求.
图①
(2)如图②(图案设计不唯一).
理由:将原正方形分割成如图②中的3个矩形,使得BE=OD=OC,将每个装置安装在这些矩形的对角线的交点处.
设AE=x,
则ED=30-x,DH=15.
由BE=OD,
得x2+302=152+(30-x)2,
图②
考向三
利用解直角三角形进行测量方案设计
这类题目的特点是在测量方案中,用有关的三角函数知识解决.
【例3】 如图,飞机沿水平方向(A,B两点所在的直线)飞行,前方有一座高山,为了避免飞机飞行过低,就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素,飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离),请设计一个求距离MN的方案,要求:
(1)指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);
(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤.
解:此题为开放题,答案不唯一,只要方案设计合理即可.
(1)如图,测出飞机在A处对山顶的俯角α,测出飞机在B处对山顶的俯角β,测出AB的水平距离d,连接AM,BM,MN.

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