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8 数学广角——数与形 教学实录
一、谈话导入
最近老师发现我有一项非常神奇的本领，什么本领呢？我发现只要是从1开始的连续奇数相加，比如：一加三，再比如一加三加五，像这样的算式，我都算的特别的快，快到什么程度呢？只要你能说出算式，我差不多就能脱口而出算出结果，你们信吗？不信也没关系，我们就现场来比一比，找同学来出题，看看老师是不是如传闻所说的那么快，行吗？我找三个同学来出题。同时为了公平起见，我找两个同学用计算器来计算，行吗？生出题，快吗，没关系你们继续算这个，我们继续第二个，再来一个第三个，怎么样这个方法快吗，你们想不想像老师这样也算的这么快，想不想掌握这个方法。直接告诉你们就不好玩了，但是我可以给你们一点点的提示，想听吗？我的提示是：我是借助图形发现的这个方法：板书：形，今天这节课我们就一起来研究(板书：数与形)，那我是怎么借助图形发现的呢？我先根据算式中的加数，拿出若干个图形，比如：1+3，我就先拿出一个小正方形，再拿出三个小正方形，我发现这些数量的小正方形正好可以排成一个大正方形。（板贴）那我就把它们排成了一个更大的正方形，接着我观察图形和算式之间的关系，我就发现了这个方法，你们想不想自己试试看，复杂的问题先从简单的开始，先来两个加数的，再来三个加数的，请你在小组内先完成第一步，再完成第二步，看看哪个小组最先发现老师的方法。可以吗？好开始。 老师现在调查一下有哪些小组发现了老师的方法。 我们组发现：这四个正方形可以拼成一个大正方形，通过观察它的个数发现它正好是二的平方，也就是四个小正方形。那么1在哪，3呢？那也就是说这些小正方形的个数就是1+3的和，每行有几个？一共有几行？所以：1+3可以怎样算：算成二的平方，或二乘二。我把他们的方法先写在黑板上。哪个小组来说一说下一个算式：一个小正方形与两个L，一在哪，三呢？五呢？每行有几个，一共有几行，所以等于三个平方。非常好，我把这一组同学的方法还原到黑板上（板贴），根据这组同学的汇报，他们认为1+3+5等于（三的平方）（板书）除了这两组同学的发现，你们还有其它的发现吗？ 生：我发现算式的结果等于加数个数的平方
你们认同他的想法吗？那能不能举个具体的例子来说一说：比如： 生举例：1+3+5+7=（ ）2ppt 再比如：1+3+5+7+9=（ ）2 再来举个例子 这些同学的猜想，他们认为加数有几个，和也就是几的平方，所有的算式都有这样的规律吗？都能这样算吗？认为可以这样算的说说你的理由，认为不可以的也说说你的理由，可以吗？在小组内互相说一说
生：我觉得不行，因为要连续奇数相加才可以用这个规律
他给提出了一条就是：一定是连续的奇数相加，还有补充吗？生说
前提是一定从几开始的？（从1）只要是从1开始的，那为什么它们就可以算呢？（举手） 正方形的面积等于：边长乘边长
借助图形来说理由我就明白了，我们从头来看，一个小正方形可以看成一的平方，我这里刚好有一个小正方形。可以把它写成1=12，想要拼成更大的正方形，ppt（够吗？）还要比前一个加数再增多几个（三个）想要拼成更大的正方形，再增加三个够吗?三个是不够了的，还要再多（两个）此时是1+3+5，再往下要增加7个，才能拼成更大的正方形。依此类推，加到了9。就能排每行每列的个数是5的大正方形，也就是25个，那看来只要是从1开始的连续几个奇数相加，就能排成每行每列个数是几个大正方形，和也就是几个平方。那现在老师再出题考考你，看看你们的速度是不是快了一点。Ppt 接下来老师这个题目有一点难了，要细心一点：ppt : 我们的练习纸上就有，做一做： 指名生说等于25 （为什么）
听清楚了吗，我想你到前面来指一指，可能有的同学没听清楚。
Ppt（1+3+5+7）他把它们分成都一组，它们可以拼成四的平方的正方形，剩下这些可以拼成三的平方的正方形。这样一加就等于25。下一个谁来？ 我们同学都非常聪明，现在不但从一开始的连续奇数相加你能算的很快，变化一点你也能算的很快，现在你知道老师是用什么方法来算这些题的了吧？ 来再来一次（计算刚上课时的题目）
老师的这个方法算的快吗？巧妙吗？这么巧妙的方法我们是借助什么发现的？看来有的计算问题，借助图形思考更容易。（板书：2）
就像这个题一样，我们还发现更巧妙、更简便的方法，对吗？
计算问题能借助图形思考，那图形的问题会不会蕴藏着数的规律呢？
（ppt：做一做第二题）下面各个图形各有几个红色的和蓝色的小正方形？第一个蓝色有几个？（答案依次出现）
请你认真的思考和观察，上面的图形的数之间有什么规律？四人一小组交流一下： （师参与其中）指名汇报
生1：中间的蓝色每增加一个，红色就会增加两个） 生2:每个图形左右两边都是固定不变的三个小正方形。
师：刚才第一个同学说蓝色的每次都增加了一个，红色的每次都增加了两个，为什么蓝色的每次增加一个，红色的会增加两个呢？
生：红色图形要将蓝色图形给包围住，多一个蓝色图形，要想将它包围住就必须增加两个小正方形。（在哪儿增加的呀，///增加的两个红色图形在哪）
大家看清楚了吗？解释的非常清楚，我们一起来看一下，这是第一个图形，想要增加一个蓝色，上下就要各增加一个红色的图形才能将它包围住。依此类推，第三个图形比第二个增加了一个蓝色，上下就要各增加一个红色才能将它包围住。接着下去，每增加一个蓝色，红色就增加了两个。如果不让你画图，照这样画下去，第六个和第十个图形各有几个红色和蓝色小正方形你们能写出来吗?在练习本上写一写试一试。
师：算出来了吗？找人说一下，第六个图形有多少个红色，多少个蓝色？
生：第六个图形有 个红色小正方形，有 个蓝色小正方形。第十个图形有 个 师：你们是怎么算出来的呢？能不能简单解释计算的道理？先说蓝色行吧!
生：蓝色的是依次加一。到第六个的话就是六个小正方形，第十个就有十个小正方形。 师：因为蓝色图形从第一个图形开始就有一个蓝色，后边的依次加一，所以第几个图形就有几个蓝色。那红色的你们又是怎么算出来的呢？能不能也解释道理，在小组里互相说说你们是怎么算的。（生交流）
生：依次加二，这样一直加下去。
师：这是第十个，如果个数更多的时候，这样一个一个加，就比较麻烦，而且也可能更容易出错，那有没有更简单的方法呢？ 生： 师：他是根据蓝色小正方形个数是吧，再根据红色小正方形和蓝色小正方形的个数间的关系，再加上左右两边的六个，说的非常好，再找生说 师：我们来看看，第个图形都有蓝色的图形是吧，上下，红色的个数就等于蓝色的个数乘二。再加上左右两边固定不变的六个，那也就是说想要求红色个数，我们可以用蓝色个数乘二再加上六（ppt：红色个数=蓝色个数*2+6）。即使个数很多的时候，我们仍然能够算的很快。看来图形问题确定也蕴藏着数的规律。板书：3。找到了他们的规律，解决问题就清晰、容易多了。其实数和形之间还有很多的规律，有的特殊的数和特殊的形之间还有着密切的联系。比如：这是一个圆，它的数量是1.（练习二十二第二题，依次出现）上面有图，下边有数，请你再观察和思考，图和数之间又有什么规律？小组之间交流一下。 生：
师：比方第四个图形有几个，第一个行几个，第二行有几个
生：我发现第几个图形有几行。第一个图形有一行，第二个图形有两行， 依次类推。 生3：我发现第一个图形到第二个图形是增加两个的，第二个图形到第三个是增加三个的。依次类推 生4：
照这个规律往下画的话，第五个、第六个、第七个能画出来吗？下面的数表示什么？那第五、第六、第七个图形下面的数你能不能很快的写出来？ 生：第五个图形有五行，第五行有五个，在原来的基础上加上五，就得到第五个图形的个数，也就是十五。第六个图形有六行，第六行有六个，在原来的回顾上加上六就得到二十一个。 师：现在如果不让你画图，你能不能想像一下，第十个图形是什么样子的？一共有多少个小圆形，下面我们就算一算，第十个图形下面的数是多少？ 生：55个，
师：你是怎么算的呢？其实我们就是用1+2+3+-------,，然后用的简便方法来算的。我们来看一看，第十个图形是这样子吗？每行分别有（1—9），然后把每行个数加起来，这两个同学说的是这个算式的简便方法。你发现了没有，55个小圆形，它能排成一个什么图形，而且这个三个形是从一加到几的三角形？回过头来看看，三能排成三角形吗，六能吗。十能吗？我们发现，这些数量的小圆形刚好可以排成什么图形？（三角形）在数学上我们把1、3、6、10、15、21、28还有刚才那个55就把它们叫做三角形数。那你们想想看，二十八下一下三角形数是多少？（36）
黑板上再看，1个图形可以拼成正方形，4个图形可以拼成正方形，9个图形可以拼成正方形。16可以拼成？你有什么想法或疑问？ 生：它们可以叫做正方形数
师：想一想，16的下一个正方形数是多少？其实正方形数和三角形数之间还有着更神秘的联系，想知道吗？
师：仔细看一看，16是一个正方形数，它可以拆成两个三角形数（ppt ）
师：不但能拆成两个三角形数，而且这两个三角形数还是相邻的。任意一个正方形数都可以拆成两个三角形数相加。看来数和形之间还有着千丝成缕的联系，正是因为有了这样的联系，在我们以前的数学学习过程中，就有很多数形结合的例子。想想看，从幼儿园的时候就有了，想想看你的妈妈是怎么教你1+1=2（手指比划）
生：分数也是通过数形结合来认识的，比如二分之一就是把一个圆平均分成两份，其中的一份就是它的二分之一。
师：学习分数的时候画了圆，还有吗？
生：学习三角形的面积的时候，可以用两个三角形拼成一个平行四边形，所以三角形的面积就是平行四边形面积的一半，也就是
师：也就是图形的面积可以用数的运算来解决。我们这个学期有吗？
生：学习圆的面积的时候，是把圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形。 师：圆的面积可以用数的计算来解决。
师：看来数形结合在我们小学的学习之中，有很多的时候都在应用，对吗？今天这节课，我们一起研究了数与形，你有什么感受？谁想说？
下课！

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