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7.3.2　离散型随机变量的方差
第七章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质,会利用相关公式计算方差.
4.通过本节课学习,提升数学运算、数学抽象以及数学建模的核心素养.
自主预习 新知导学
离散型随机变量的方差
1.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为X和Y,X和Y的分布列如下表所示.
(1)求E(X),E(Y);
(2)能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低
(3)试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低
(2)不能,因为E(X)=E(Y).
(3)方差.
2.(1)设离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方
(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.
因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称
(2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越 集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越 分散 .
(3)一般地,可以证明下面的结论成立:
D(aX+b)= a2D(X) .
3.(1)已知随机变量X的分布列为则D(X)等于(　　)
A.0.7
B.0.61
C.-0.3
D.0
(2)若D(Y)=3,则D(2Y-1)=　　　　　.
解析:(1)E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,
D(X)=(-1+0.3)2×0.5+(0+0.3)2×0.3+(1+0.3)2×0.2=0.61.
(2)D(2Y-1)=4D(Y)=4×3=12.
答案:(1)B　(2)12
X -1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.( × )
(2)若a为常数,则D(a)=0.( √ )
(3)标准差与方差具有相同的单位.( × )
(4)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
求离散型随机变量的方差、标准差
【例1】 已知离散型随机变量X1的分布列为
离散型随机变量X2的分布列为
求这两个随机变量的均值、方差与标准差.
求离散型随机变量X的方差的步骤:
(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值;
(2)求X取各个值的概率,写出分布列;
(3)根据分布列,求出均值E(X);
(4)根据公式计算方差.
【变式训练1】 已知随机变量X的分布列为
答案:C
探究二
离散型随机变量的方差公式及性质
【例2】 已知随机变量X的分布列为
(1)求方差及标准差;
(2)若Y=2X+1,求D(Y).
本例条件不变,将第(2)问改为“若Y=2X-E(X),求D(Y)”,如何求解
解:∵Y=2X-E(X),
∴D(Y)=D(2X-E(X))=22D(X)=4×384=1 536.
与离散型随机变量方差性质有关问题的解题思路
对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数),这样处理避免了求随机变量Y=aX+b的分布列,避免了繁杂的计算,简化了计算过程.
【变式训练2】 已知随机变量X的分布列为
探究三
方差的实际应用
【例3】 已知甲、乙两名射击运动员在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X,Y,甲、乙两人在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求X,Y的分布列;
(2)求X,Y的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人参加某项射击比赛.
解:(1)依据题意,知0.5+3a+a+0.1=1,
解得a=0.1.
∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,
∴乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
∴X,Y的分布列分别为
X 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
Y 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)根据(1)中X,Y的分布列,可得
E(X)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,
E(Y)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,
D(X)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(Y)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
由E(X)>E(Y),说明甲平均射中的环数比乙大.
由D(X)故甲的射击技术较好,应选拔甲参加某项射击比赛.
利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤
(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.
(2)在均值相等的情况下计算方差.方差可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了离散型随机变量取值的集中与离散程度.
(3)下结论.依据均值、方差的实际意义给出结论.
【变式训练3】 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类大致相同,数量大致相等.甲、乙两个野生动物保护区内每个季度发生违反野生动物保护条例事件的次数X,Y的分布列分别为
试评定甲、乙两个野生动物保护区的管理水平.
X 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
Y 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
解:甲野生动物保护区内每个季度发生违反保护条例事件的次数X的均值和方差分别为
E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,
D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.
乙野生动物保护区内每个季度发生违反保护条例事件的次数Y的均值和方差分别为
E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,
D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.
因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),
所以两个野生动物保护区内每个季度发生的违反保护条例事件的平均次数相同,但甲野生动物保护区内每个季度发生违反保护条例事件的次数相对分散和波动,乙野生动物保护区内每个季度发生违反保护条例事件的次数更集中和稳定.
规范解答
离散型随机变量均值与方差的综合应用
【典例】 已知袋子中装有大小、质地完全相同的a个红球,b个黄球,c个蓝球,规定:取出1个红球得1分,取出1个黄球得2分,取出1个蓝球得3分.
(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中有放回地依次随机取出2个球,记随机变量X为取出这2个球所得分数之和,求X的分布列;
(2)从该袋子中随机取出1个球,记随机变量Y为取出的球所得分数.若
(2)由题意知Y的分布列为
对于离散型随机变量均值与方差的综合应用问题,解题时首先要理解关键词,其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值,计算出相应的概率,最后一般就是计算问题.
【变式训练】 若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0(1)求方差D(X)的最大值;
解:随机变量X的可能取值为0,1,且P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.随机变量X服从两点分布,从而E(X)=p,D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.
随堂练习
1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)= ,k=3,6,9.则D(X)等于(　　)
A.6 B.9 C.3 D.4
答案:A
解析:依题意知,Y服从两点分布,则D(Y)=m(1-m).
答案:D
3.甲、乙两名运动员在以往比赛中得分的分布列如下表所示.
现有一场比赛,要派一名运动员参加,则(　　)
A.派甲参加较好
B.派乙参加较好
C.派甲、乙参加均可
D.无法确定派谁参加较好
X1(甲得分) 0 1 2
甲得分的概率 0.2 0.5 0.3
乙得分的概率 0.3 0.3 0.4
解析:E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,
D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69.
因为D(X1)所以甲比乙得分稳定,选甲参加较好.
答案:A
4.随机变量X有四个不同的取值,且其分布列如下:
则E(X)的最大值为(　　)
答案:D

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