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(共36张PPT)
6.2.3　组合　6.2.4　组合数
第六章
6.2
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解组合的定义,正确认识排列与组合的区别与联系.
2.理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
3.通过该节的学习,逐步提升数学抽象、数学建模以及运算求解三大数学核心素养,培养分析问题、解决问题的能力.
自主预习 新知导学
一、组合的概念
1.①从全班40人中选出5人组成班委会,有多少种不同的选法
②从全班40人中选出5人分别担任班委中的5个不同职务,有多少种不同的选法
以上两个问题中哪个是排列 ①与②有何不同
提示:②是排列;①中选出的5人无需排列,②中选出的5人有顺序.
2.(1)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(2)两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.
3. 区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么
提示:关键是看它有无顺序,有顺序的是排列问题,无顺序的是组合问题.
4. 下列几个问题是组合问题的有(　　)
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学分别去参加两个社区的社会调查,有多少种不同的选法
②从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学,有多少种不同的选法
③4人参加5种不同的运动,每人参加一种,有多少种方法
④甲、乙、丙、丁四支足球队之间进行单循环比赛,共需要赛多少场
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
解析:①③与顺序有关,是排列问题;②④与顺序无关,是组合问题.
答案:D
二、组合数及组合数公式
1.从1,3,5,7中任取两个数相除,
(1)可以得到多少个不同的商
(2)如何用分步乘法计数原理求商的个数
(3)你能得出计算 的公式吗
2.(1)组合数的概念:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 表示.
(2)组合数公式:
答案:(1)B　(2)0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ )
(2)从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合,所有组合的个数为 .( √ )
(3)从甲、乙、丙、丁4名同学中选出3名分别去参加三个不同的培训班,有多少种不同的选法是组合问题.( × )
(4)现有4枚同种纪念币送给10人中的4人留念,有多少种送法是排列问题.
( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
组合概念的理解
【例1】 判断下列问题是组合问题还是排列问题,并用组合数或排列数表示出来.
(1)已知集合{1,2,3,4,5,6,7},则集合的子集中有3个元素的有多少
(2)8人两两互发一封电子邮件,共写了多少封电子邮件
(3)8人每2人间通电话一次,共通了多少次电话
(4)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票
判断一个问题是不是组合问题的方法
区分排列问题与组合问题的关键是看结果是否与元素的顺序有关,若交换元素的位置对结果产生影响,则是排列问题;若交换元素的位置对结果没有影响,则是组合问题.也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关.
【变式训练1】 判断下列问题是排列问题还是组合问题:
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分1张,而且票必须分完,有多少种分配方法
(2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数
(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会,有多少种不同的选法
解:(1)是组合问题,4张票是相同的(都是当日动物园的门票),不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人,与顺序无关.
(2)是排列问题,选出的2个数作分子或分母,结果是不同的.
(3)是组合问题,选出的4人不需要排列顺序.
探究二
组合数的计算与证明
答案:D
关于组合数计算公式的选取技巧
探究三
用组合数公式解决简单的组合问题
【例3】 有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛,在下列情形中各有多少种选派方法
(1)任意选派5人;
(2)男运动员3名,女运动员2名;
(3) 2名队长必须参加;
(4)至少有3名女运动员.
求解简单组合问题的基本策略
(1)要判断问题是不是组合问题,组合问题与排列问题的区别在于组合问题与取出元素的顺序无关,而排列问题与取出元素的顺序有关.
(2)要注意对问题进行合理的分类与分步,与两个计数原理结合起来解决问题.
【变式训练3】 (1)有4名男医生、3名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有　　　　种.
(2)袋中装有质地、大小相同的4个红球和6个白球,从中取出4个球,若取出的球必须是两种颜色,则有　　　　种不同的取法.
答案:(1)18　(2)194
易错辨析
以上解答过程中有什么错误 导致错误的原因是什么 你如何防范
提示:在 中,有限制条件0≤m≤n,m∈N*,n∈N*,错解中忽视了这些限制条件,从而导致错误.
答案:B
求解与组合数有关的方程或不等式时,一方面要合理运用组合数公式将含有组合数的式子转化为一般的代数表达式,通过解方程或不等式求解,另一方面要特别注意根据组合数中字母的限制条件对得到的结果进行检验,避免错误.
∴n2-11n-12<0,解得-1结合n的取值范围,得n=5,6,7,8,9,10,11.
随堂练习
1.以下四个问题属于组合问题的是(　　)
A.从3个不同的小球中,取出2个排成一列,共有多少种排列方法
B.老师在给全班44名同学排座次时,将甲、乙两名同学安排为同桌,共有多少种安排方法
C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2位幸运之星,共有多少种选法
D.从13位司机中任选出2位开同一辆车往返甲、乙两地,共有多少种选法
答案:C
2.从5人中选3人参加座谈会,其中甲必须参加,则不同的选法有(　　)
A.60种 B.36种
C.10种 D.6种
答案:D
答案:20　161 700

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