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6.3.1　二项式定理
第六章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
4.通过该节的学习,理解从特殊到一般的思维方法,培养观察归纳能力、抽象思维和逻辑思维能力.
自主预习 新知导学
二项式定理
1.我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,
(1)试用多项式的乘法法则推导(a+b)3,(a+b)4的展开式;
(2)上述两个展开式有何特点
(3)你能用组合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗
提示:(1)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
(2)(a+b)3的展开式有4项,每项的次数是3;(a+b)4的展开式有5项,每一项的次数为4.
(3)(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).由多项式的乘法法则知,从每个(a+b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)(a+b)n的展开式中共有n项.( × )
(2) an-kbk是(a+b)n展开式中的第k项.( × )
(3)(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式中各项的二项式系数相同.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
二项式定理的正用与逆用
运用二项式定理的解题策略
(1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点,前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开.
(2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉二项展开式的项数、次数、各项幂指数的规律、各项的系数等特点.
探究二
二项式系数与项的系数问题
1.求某项的二项式系数、系数或展开式中含xr的项的系数,主要是利用通项公式求出相应的项,特别要注意某项的二项式系数与系数两者的区别.
2.二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.
【变式训练2】 (2x+1)6的展开式中含x4项的系数为(　　)
A.60 B.120 C.240 D.480
答案:C
探究三
与二项展开式中的特定项有关的问题
(一)求二项展开式中特定的项
(1)n的值;
(2)展开式中含x3的项.
1.本例条件不变,求二项展开式中的常数项.
2.本例条件不变,求二项展开式中的所有有理项.
求二项展开式的特定项常见题型及处理措施
(2)求常数项.对于常数项,其隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(3)求有理项.对于有理项,是指其所有字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.
(4)求整式项,求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.
(1)n的值;
(2)含x2的项的系数;
(3)展开式中所有的有理项.
(二)由二项展开式某项的系数求参数问题
答案:D
由二项展开式某项的系数求参数问题的关键是抓住其通项公式,求解时先准确写出通项,再把系数和字母分离,根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出方程或不等式即可求解.
答案:A
探究四
二项式定理的综合应用
【例5】 (1)(x+y)(2x+y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A.80 B.120 C.240 D.320
(2)若(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=　　　　　.
解析:(1)(x+y)(2x+y)5=(x+y)(32x5+80x4y+80x3y2+40x2y3+10xy4+y5),
故展开式中x3y3的系数为40+80=120.
(2)由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,
故(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项分别为(4a+1)x,(4a+6)x3,x5,其系数之和为(4a+1)+(4a+6)+1=32,解得a=3.
答案:(1)B　(2)3
1.两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点.
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.
(3)分别求解后相乘,求和即得.
2.三项或三项以上的展开问题
应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性.
【变式训练5】 已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a等于(　　)
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
答案:D
数学建模
利用二项式定理解决整除性问题
【典例】 (1)今天是星期一,过2100天后是星期　　　　　.
(2)求证:32n+2-8n-9能被64整除.
答案:三
整除性或求余数问题的处理方法
(1)构造一个与题目条件有关的二项式,即把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式.
(2)利用二项式定理展开,由于前面(或后面)绝大多数项都含有除数这一因式,能被除数整除,因此只需研究后面(或前面)一、两项就可以.
(3)注意余数的范围.
(4)利用二项式定理展开、变形后,若剩余部分是负数,则要注意转化为
正数.
【变式训练】 (1)用二项式定理证明:34n+2+52n+1能被14整除.
(2)求9192除以100的余数.
随堂练习
答案:D
答案:C
答案:C
4.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6的展开式中,x2的系数是　　　　　　　.(用数字作答)
答案:35

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