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(共33张PPT)
6.3.2　二项式系数的性质
第六章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.能运用赋值法和函数思想分析处理二项式系数的性质问题.
2.理解和掌握二项式系数的性质,会求解与二项式系数有关的问题.
3.通过该节的学习,养成利用函数思想分析问题、解决问题的习惯,进一步培养观察归纳、逻辑推理的思维能力.
自主预习 新知导学
二项式系数的性质
1.观察图形,发现规律:
(a+b)n的展开式的二次项系数,当n取正整数时可以
表示的形式如图所示:
图①
图②
(1)每一行中,与首末两端等距离的二项式系数有怎样的关系
(2)二项式系数的最大值有何规律
(3)第一行中各数之和为多少 第二、三、四、五行呢 由此你能得出怎样的结论
提示:(1)相等.
(2)当n=2,4,…时,中间一项最大,当n=3,5,…时中间两项最大.
(3)第一行中各数之和为21.第二、三、四、五行中各数之和分别为22,23,24,25.第n行中各数之和为2n.
2.(1)从函数的角度分析二项式系数
②增减性与最大值
3.(1)下列关于(a-b)10的说法错误的是(　　)
A.展开式中的二项式系数之和为1 024
B.展开式中第6项的二项式系数最大
C.展开式中第5项或第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最小
(2)(2x-1)6展开式中各项系数的和为　　　 ;各二项式系数的和为　　　 .
解析:(1)根据二项式系数的性质进行判断,由二项式系数的性质,知二项式系数之和为2n,故A正确;当n为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故B正确,C错误;易知D正确.
(2)令x=1,得各项系数的和为1;各二项式系数的和为26=64.
答案:(1)C　(2)1　64
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)(a+b)n的展开式中某项的二项式系数是该项中非字母因数部分,包括符号等.( × )
(2)二项式展开式的二项式系数和为 .( × )
(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
求展开式的系数和
【例1】 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.
求:(1)a1+a2+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7;
(3)a0+a2+a4+a6.
解:令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1,①
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.②
本例中条件不变,求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|的值.
解:(方法一)(1-2x)7的展开式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,
故|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|
=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)
=1 093+1 094=2 187.
(方法二)∵|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|是(1+2x)7展开式中各项的系数和,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2 187.
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
【变式训练1】 已知(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求:
(1)a0+a1+a2+a3+a4;
(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2.
解:(1)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,
令x=1,得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,
故a0+a1+a2+a3+a4=1.
(2)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令x=1,得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,①
令x=-1,得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4.②
故(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0-a1+a2-a3+a4)·(a0+a1+a2+a3+a4)
=(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625.
探究二
求展开式中系数或二项式系数的最大项
(1)求二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项是第几项
在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项.
解:由本例(2)知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,第6项的系数为负,第7项的系数为正.
1.求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.
(1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大.
(2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
2.二项展开式中系数的最大项的求法,求二项展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的,需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数的最大项,设二项展开式中各项系数分别为A0,A1,A2,…,An,且第r+1项最大,应用 解出r,即得出系数的最大项.
【变式训练2】 在(3x-2y)20的展开式中,求
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数绝对值最大的项;
(3)系数最大的项.
规范解答
项的系数与二项式系数的最大项问题
【典例】 已知 展开式中各项的系数和比它的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
答题模板　第1步,根据展开式中各项系数和以及二项式系数和求出n;
第2步,根据二项式系数的性质求得二项式系数最大的项;
第3步,列出不等式组求得系数最大的项.
随堂练习
1.已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于(　　)
A.11 B.10
C.9 D.8
解析:因为只有第5项的二项式系数最大,
所以 +1=5,所以n=8.
答案:D
2.已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=　　　　　.
解析:依题意可得a0+a2+a4=-(a1+a3+a5)=16,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256.
答案:-256
答案:127

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