资源简介

(共32张PPT)
7.1.2　全概率公式
第七章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解并掌握全概率公式及贝叶斯公式.
2.会用全概率公式及贝叶斯公式解决一些实际问题.
3.通过本节课学习,提升数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养.
自主预习 新知导学
全概率公式
1.一个盒子里装有7只好的晶体管、5只坏的晶体管,每次随机摸出1只,摸出的晶体管不放回,则
(1)第一次摸到好的晶体管的概率是多少
(2)第二次摸到好的晶体管的概率又是多少 为什么
(3)它们有怎样的关系
2.(1)一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有
我们称此公式为全概率公式.
(2)设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,P(B)>0,有
3.某乡镇有甲、乙两家超市,一周内老王要去超市购物两次,第一次购物时随机地选择一家超市购物.若第一次去甲超市,则第二次去甲超市的概率为0.4;若第一次去乙超市,则第二次去甲超市的概率为0.6.老王第二次去甲超市购物的概率为　　　　　.
解析:设事件A1=“第一次去甲超市购物”,B1=“第一次去乙超市购物”, A2=“第二次去甲超市购物”,则Ω=A1∪B1,且A1与B1互斥.
根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.4,P(A2|B1)=0.6.
由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.
因此,老王第二次去甲超市购物的概率为0.5.
答案:0.5
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)全概率公式P(B)= P(Ai)P(B|Ai)中的事件B,只能是一个单一的事件.
( × )
(2)在贝叶斯公式中,称P(Ai)是试验之前就已知的概率,称为先验概率,P(Ai|B)称为后验概率.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
全概率公式的应用
【例1】 有编号为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三个口袋,其中Ⅰ号袋内装有两个1号球,一个2号球与一个3号球;Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球;Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.现在先从Ⅰ号袋内随机地摸出一个球,放入与球上号数相同的口袋中,第二次从放入球的口袋中随机摸出一个球,计算第二次摸到几号球的概率最大,为什么
解:记事件Ai,Bi分别表示第一、二次摸到i号球,i=1,2,3,则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥.
在上题中,若第二次取到1号球,问它取自哪一个口袋的概率最大
全概率公式为复杂事件的概率计算提供了一条有效途径,是概率论中一个有效的分析工具.其重要意义在于:对于一个复杂的事件B,若无法直接求出它的概率P(B),则可以“化整为零”,通过选择样本空间的划分将复杂事件B分解为若干个简单事件来进行处理,从而使分析问题的思路变得清晰条理,计算化繁就简,化难为易.
【变式训练1】 已知口袋中有10张卡片,其中2张卡片是中奖卡.三个人依次从口袋中摸出1张,则中奖概率是否与摸卡的次序有关
探究二
贝叶斯公式的应用
【例2】 经过普查,了解到人群中患有某种疾病的概率为0.5%.某病人因患有类似病症前去就医,医生让他做某项化验.经临床多次试验,患有该病的患者化验结果阳性率为95%,而非该病患者的化验结果阳性率仅为10%.现该病人化验结果呈阳性,求该病人患有此种疾病的概率(精确到0.001).
贝叶斯公式用来描述两个条件概率之间的关系,应用时,要先找出先验概率与条件概率,后计算.
【变式训练2】 仓库中有不同工厂生产的灯管,其中有甲厂生产的1 000支,次品率为2%;乙厂生产的2 000支,次品率为3%;丙厂生产的3 000支,次品率为4%.若从中随机抽取1支,发现为次品,则该次品是甲厂产品的概率为多少
解:设事件A1,A2,A3分别表示抽得灯管来自甲、乙、丙厂,C表示抽得灯管为次品,则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥.
根据题意得
规范解答
两个公式的综合应用
【典例】 某种仪器由三个部件组装而成.假设各部件的质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8,0.7与0.9.如果三个部件都是优质品,那么组装后的仪器一定合格;如果有一个部件不是优质品,那么组装后的仪器不合格率为0.2;如果有两个部件不是优质品,那么仪器的不合格率为0.6;如果三个部件都不是优质品,那么仪器的不合格率为0.9.
(1)求仪器的不合格率;
(2)如果已发现一台仪器不合格,则它有几个部件不是优质品的概率最大
规范展示:记事件B=“仪器不合格”,Ai=“仪器上有i个部件不是优质品”,i=0,1,2,3.
显然A0,A1,A2,A3组成Ω,且两两互斥.
根据题意得P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.9,
P(A0)=0.8×0.7×0.9=0.504,
P(A1)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398,
P(A3)=0.2×0.3×0.1=0.006,
P(A2)=1-P(A0)-P(A1)-P(A3)=0.092.
正确找出由两两互斥的事件组成的样本空间Ω是解决此类问题的关键
所在.
【变式训练】 甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病,设三个地区感染此病的比例分别为 .现从这三个地区任抽取一个人,假设每个人来自三个地区的可能性相同.
(1)求此人感染此病的概率;
(2)若此人感染此病,求此人来自乙地区的概率.
随堂练习
1.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的,且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为 .现从这10盒中任取1盒,再从这盒中任取1张X光片,则取得的X光片是次品的概率为(　　)
解析:记A1,A2,A3分别表示“取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的”,B表示“取得的X光片为次品”,则
答案:A
2.某学生在做一道有4个选项的单项选择题时,若他不知道问题的正确答案,则随机猜测.现某道题从卷面上看是答对了,试在以下情况下求学生确实知道该题正确答案的概率.
(1)该学生知道正确答案和随机猜测的概率都是0.5;
(2)该学生知道正确答案的概率是0.2.
解:设事件A=“学生答对了”,B=“学生知道正确答案”,则 =“学生随机猜测”;“确实知道正确答案的概率”就是计算在A发生的条件下,事件B发生的概率,即P(B|A).
3.关于两类投保人的问题.如果易出事故的人在一年内出事故的概率为0.4,不易出事故的人在一年内出事故的概率为0.2,且第一类人占总投保人的比例是30%,那么随机抽取一名投保人,他会在一年内出事故的概率是多少 另外,假设他在一年内出了事故,则他属于易出事故的人的概率为多少

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