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第1课时　离散型随机变量
第七章
7.2
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.
2.会用离散型随机变量描述随机现象,能够确定离散型随机变量所有可能的取值.
3.提升数学抽象、数学建模等核心素养.
自主预习 新知导学
离散型随机变量
1.(1)抛掷一枚质地均匀的硬币,有“正面朝上”和“反面朝上”两种可能结果,可以将试验结果用数值来表示吗
(2)在一块地里种10棵树苗,设成活的树苗棵数为X,则X可取什么数值
提示:(1)可以,可将试验结果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示.
(2)X的可能取值为0,1,2,…,10.
2.(1)一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为 随机变量 .
(2)可能取值为有限个或可以 一一列举 的随机变量,我们称之为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如 X,Y,Z ;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如 x,y,z .
(3)随机变量X有如下共同点:
①取值依赖于样本点;
②所有可能取值是明确的.
3.(1)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次,可以作为随机变量的是(　　)
A.第一次出现的点数
B.第二次出现的点数
C.两次出现的点数之和
D.两次出现相同点的种数
(2)下列随机变量中,不是离散型随机变量的是(　　)
A.某人射击一次中靶的环数X
B.某水位监测站所测水位在区间(0,18]上变化,该水位监测站所测水位H
C.从装有1红、3黄共4个球的口袋中,取出2个球,其中黄球的个数Y
D.将一个骰子连续抛掷3次,3次出现的点数和X
解析:(1)选项A,B中出现的点数虽然是随机的,但是其取值所反映的结果,都不能整体反映本试验.选项C整体反映两次抛掷的结果,可以预见两次出现的点数的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,共11种结果,但每次试验之前无法确定是11种结果中的哪一个,因此是随机变量.选项D中两次出现相同点的种数为6,是定值,不是随机变量.
(2)水位在区间(0,18]上变化,不能一一举出,故不是离散型随机变量.
答案:(1)C　(2)B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个. ( √ )
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中,“出现正面的次数”为随机变量.( √ )
(3)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
随机变量的概念
【例1】 判断下列各个量是不是随机变量,并说明理由.
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中随机抽1张,被抽出卡片的号数;
(2)体积为8 cm3的正方体的棱长.
解:(1)被抽出卡片的号数可能是1,2,…,10,出现哪种结果是随机的,是随机变量.
(2)正方体的棱长为定值,不是随机变量.
判断一个试验是不是随机试验,依据是这个试验是否满足随机试验的三个条件,即
(1)试验在相同条件下可重复进行;
(2)试验的所有可能的结果是明确可知的,并且试验的结果不止一个;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前不能确定出现哪一个结果.
对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.
【变式训练1】 判断下列各个量,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由.
(1)某天当中甲公司客服接到咨询电话的个数;
(2)在标准大气压下,水沸腾的温度;
(3)在一次绘画作品评比中,设一、二、三等奖,所有参赛作品都会获得奖次,小明的一件参赛作品获得的奖次;
(4)半径为2 cm的圆的面积.
解:(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果都是随机的,因此是随机变量.
(2)在标准大气压下,水沸腾的温度是100 ℃,是定值,因此不是随机变量.
(3)获得的奖次可能是一,二,三,出现哪一个结果都是随机的,因此是随机变量.
(4)半径为2 cm的圆的面积为定值,因此不是随机变量.
探究二
离散型随机变量的判定
【例2】 指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由.
(1)某座大桥一天经过的车辆数X;
(2)连续不断地射击,首次命中目标需要的射击次数Y;
(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差Z.
解:(1)是离散型随机变量.车辆数X的可能取值可以一一列出,故X是离散型随机变量.
(2)是离散型随机变量.命中时需要的射击次数Y为1,2,3,…,可以一一列出,故是离散型随机变量.
(3)不是离散型随机变量.实际测量值与规定值之间的差值的可能取值是在某个区间内,无法一一列出,故不是离散型随机变量.
判断一个随机变量是不是离散型随机变量的具体方法:
(1)明确随机试验的所有可能结果.
(2)将随机试验的各个试验结果数量化.
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,如果能一一列出,那么该随机变量是离散型随机变量,否则不是.
【变式训练2】 指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由.
(1)一个沿数轴进行随机运动的质点,它在数轴上的位置;
(2)一个袋中装有大小、质地相同的5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数;
(3)某林场树木最高达30 m,则此林场中树木的高度.
解:(1)不是离散型随机变量.一个沿数轴进行随机运动的质点,它在数轴上的位置是连续变化的,因此不是一个离散型随机变量.
(2)是离散型随机变量.因为从10个球中任取3个球,可能的结果有以下几种:3个白球,2个白球和1个黑球,1个白球和2个黑球,3个黑球.所以所含白球的个数可以一一列出,符合离散型随机变量的定义.
(3)不是离散型随机变量.虽然林场树木的高度是一个随机变量,但它可以取区间(0,30]上的一切值,无法一一列举,所以不是离散型随机变量.
探究三
随机变量的可能取值及试验结果
【例3】 写出下列随机变量的所有可能的取值,并说明随机变量的每个取值表示的随机试验的结果.
(1)一个袋中装有除颜色外其他完全相同的8个红球,3个白球,从中任取5个球,其中所含白球的个数X.
(2)一个袋中装有5个大小、质地相同的黑球,编号依次为1,2,3,4,5,从中任取3个球,取出的球的最大号码Y.
解:(1)X的可能取值为0,1,2,3.
{X=0}表示“取出的5个球全是红球”;
{X=1}表示“取出1个白球,4个红球”;
{X=2}表示“取出2个白球,3个红球”;
{X=3}表示“取出3个白球,2个红球”.
(2)Y的可能取值为3,4,5.
{Y=3}表示“取出的3个球的编号为1,2,3”.
{Y=4}表示“取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4”.
{Y=5}表示“取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5”.
1.在本例(1)条件下,规定每取出1个红球赢2元,而每取出1个白球输1元,用Z表示赢得的钱数,结果如何
解:{Z=10}表示“取出的5个球全是红球”;
{Z=7}表示“取出1个白球,4个红球”;
{Z=4}表示“取出2个白球,3个红球”;
{Z=1}表示“取出3个白球,2个红球”.
2.本例(2)中,“最大”改为“最小”,其他条件不变,应如何解答
解:Y的可能取值为1,2,3.
{Y=3}表示“取出的3个球的编号为3,4,5”;
{Y=2}表示“取出的3个球的编号为2,3,4或2,3,5或2,4,5”;
{Y=1}表示“取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或1,2,4或1,3,4或1,2,3”.
用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
(1)关键点:明确随机变量的所有可能取值以及取每一个值对应的意义,即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果.
(2)注意点:解答过程中不要漏掉某些试验结果.
【变式训练3】 写出下列随机变量的可能取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)某足球队队员在5次点球中射进的球数Z;
(2)已知一辆汽车在开往目的地的道路上需通过5盏信号灯,汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数X是随机变量.
解:(1)随机变量Z的可能取值为0,1,2,3,4,5.
{Z=0}表示“5次点球中射进0球”;
{Z=1}表示“5次点球中射进1球”;
{Z=2}表示“5次点球中射进2球”;
{Z=3}表示“5次点球中射进3球”;
{Z=4}表示“5次点球中射进4球”;
{Z=5}表示“5次点球全部射进”.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,5.
{X=0}表示“在第1盏信号灯前就停下了”;
{X=1}表示“通过了1盏信号灯,在第2盏信号灯前停下”;
{X=2}表示“通过了2盏信号灯,在第3盏信号灯前停下”;
{X=3}表示“通过了3盏信号灯,在第4盏信号灯前停下”;
{X=4}表示“通过了4盏信号灯,在第5盏信号灯前停下”;
{X=5}表示“在途中没有停下,直达目的地”.
规范解答
随机变量与函数的关系
【典例】 抛掷两枚质地均匀的骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X,试求X的值域,并说明X>4表示的试验结果.
规范展示:设第一枚骰子掷出的点数为x,第二枚骰子掷出的点数为y,其中x,y=1,2,3,4,5,6.
依题意得X=x-y,则-5≤X≤5,即X的值域为{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}.
X>4 X=5,表示x=6,y=1,即第一枚骰子掷出6点,第二枚骰子掷出1点.
随机变量X与函数f(x)的区别
函数是研究确定性现象的,它定义在实轴上,有确定的因果关系;随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数,即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数,但这些数是预先知道的所有可能的值,这便是“随机”的本源.
【变式训练】 一个袋中装有大小、质地相同的5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为X.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的X的值;
(2)若规定抽取3个球中,每抽到1个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果如何都加上6分,求最终得分Y的可能取值,并判定Y的随机变量类型.
解:(1)
(2)由题意可得Y =5X+6,而X的可能取值为0,1,2,3,
所以η对应的各值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.
故η的可能取值为6,11,16,21.
显然η为离散型随机变量.
X 0 1 2 3
可能结果 取得3个黑球 取得1个白球, 2个黑球 取得2个白球, 1个黑球 取得3个白球
随堂练习
1.下列不是随机变量的是(　　)
A.从编号为1~10号的大小、质地相同的小球中随机取一个小球的编号
B.从早晨7:00到中午12:00某人上班的时间
C.A,B两地相距a km,以v km/h的速度从A到达B的时间
D.某网站一天的浏览量
解析:选项C中“时间”为确定的值,故不是随机变量.
答案:C
2.下列随机变量中,不是离散型随机变量的是(　　)
A.某机场候机室中一天的旅客数量
B.连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次,正面朝上的次数
C.某篮球下降过程中离地面的距离
D.某道路斑马线一天经过的人数
解析:ABD中的随机变量的可能取值,我们都可以按一定次序一一列出,因此,它们都是离散型随机变量;C中的随机变量可以取某一区间内的一切值,无法按一定次序一一列出,故C中的随机变量不是离散型随机变量.
答案:C
3.已知一批产品共12件,其中有3件次品,每次从中任取1件,在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是　　　　　.
解析:可能第一次就取得合格品,也可能取完次品后才取得合格品,所以X的可能取值为0,1,2,3.
答案:0,1,2,3
4.写出下列各随机变量的可能取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果:
(1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔,从中任意取出3支,其中所含白粉笔的支数X,所含红粉笔的支数Y;
(2)在含有10件次品的100件产品中,任意抽取4件,所含有次品的件数X.
解:(1)X的可能取值为1,2,3.
{X=i}表示“取出i支白粉笔,3-i支红粉笔”,其中i=1,2,3.
Y的可能取值为0,1,2.
{Y=j}表示“取出j支红粉笔,3-j支白粉笔”,其中j=0,1,2.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.
{X=i}表示“取出的4件产品中有i件次品”,其中i=0,1,2,3,4.

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