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第15课时　等腰三角形
知能优化训练
一、中考回顾
1.(2024云南中考)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为(　　)
A. B.2 C.3 D.
答案:C
2.(2020湖南益阳中考)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B的度数为(　　)
A.25° B.30°
C.35° D.40°
答案:B
3.(2021四川成都中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧在∠BAC内交于点O;③作射线AO,交BC于点D.若点D到AB的距离为1,则BC的长为　　　　　　.
答案:1+
4. (2021浙江中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,以点C为圆心,CA长为半径作弧,交直线BC于点P,连接AP,则∠BAP的度数是　　　　　.
答案:15°或75°
5.(2020青海中考)如图,△ABC中,AB=AC=14 cm,AB的垂直平分线MN交AC于点D,且△DBC的周长是24 cm,则BC=　　　　　cm.
答案:10
二、模拟预测
1.已知在等腰三角形ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=BC,则三角形ABC的底角度数为(　　)
A.45°
B.75°
C.45°或15°或75°
D.60°
答案:C
2.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A等于(　　)
A.30° B.40°
C.45° D.36°
答案:D
3.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为(　　)
A.20 B.18
C.14 D.13
答案:C
4.如图,等边三角形ABC的边长为4,点O是△ABC的中心,∠FOG=120°,绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB,BC于点D,E.连接DE,给出下列四个结论:①OD=OE;②S△ODE=S△BDE;③四边形ODBE的面积始终等于;④△BDE周长的最小值为6.上述结论正确的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
5.如图,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D,那么∠ADC=　　　　　.
答案:60°
6.如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA,交OB于点C,PD⊥OA于点D,PC=4,则PD=　　　　　.
答案:2
7.如图,已知BD⊥AG,CE⊥AF,BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,若BF=3,ED=2,GC=5,则△ABC的周长为　.
答案:28
8.将一副直角三角尺如图①摆放,能够发现等腰直角三角尺ABC的斜边BC与含30°角的直角三角尺DEF的直角边DE重合.
问题解决
将图①中的等腰直角三角尺ABC绕点B顺时针旋转30°,点C落在BF上,AC与BD交于点O,连接CD,如图②.
(1)求证:△CDO是等腰三角形;
(2)若DF=8,求AD的长.
(1)证明由题意可知BC=DE,
∴∠BDC=∠BCD.
∵∠DEF=30°,
∴∠BDC=∠BCD=75°.
∵∠ACB=45°,
∴∠DOC=30°+45°=75°,
∴∠DOC=∠BDC.
∴△CDO是等腰三角形.
(2)解:如图,过点A作AG⊥BC,垂足为G,过点D作DH⊥BF,垂足为H.
在Rt△DHF中,∠F=60°,DF=8,
∴DH=4,HF=4.
在Rt△BDF中,∠F=60°,DF=8,
∴BD=8,BF=16.
∴BC=BD=8.
∵AG⊥BC,∠ABC=45°,
∴AG=BG=4,∴AG=DH.
∵AG∥DH,∴四边形AGHD为矩形.
∴AD=GH=BF-BG-HF=16-4-4=12-4.
5

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