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第12课时　二次函数
知能优化训练
一、中考回顾
1.(2021浙江中考)关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是(　　)
A.有最大值4 B.有最小值4
C.有最大值6 D.有最小值6
答案:D
2.(2023四川眉山中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直线x=-1,下列四个结论:①abc<0;②4a-2b+c<0;③3a+c=0;④当-3A.1 B.2
C.3 D.4
答案:D
3.(2021安徽中考)设抛物线y=x2+(a+1)x+a,其中a为实数.
(1)若抛物线经过点(-1,m),则m=　　　　　;
(2)将抛物线y=x2+(a+1)x+a向上平移2个单位长度,所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是　　　　　.
答案:(1)0　(2)2
4.(2021江苏连云港中考)某快餐店销售A,B两种快餐,每份利润分别为12元、8元,每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润,准备降低每份A种快餐的利润,同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份A种快餐利润每降1元可多卖2份,每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是　　　　　元.
答案:1 264
5.(2024云南中考)已知抛物线y=x2+bx-1的对称轴是直线x=.设m是抛物线y=x2+bx-1与x轴交点的横坐标,记M=.
(1)求b的值;
(2)比较M与的大小.
解:(1)∵抛物线y=x2+bx-1的对称轴是直线x=,∴-,解得b=-3.
(2)∵m是抛物线y=x2+bx-1与x轴交点的横坐标,b=-3,
∴m2-3m-1=0,∴m2=3m+1.
∴m5=(m2)2·m=(3m+1)2·m=(9m2+6m+1)·m=[9(3m+1)+6m+1]·m=(27m+9+6m+1)·m=(33m+10)·m=33m2+10m=33(3m+1)+10m=99m+33+10m=109m+33.
∴M==m.
由m2-3m-1=0,可得m=.
当m=时,M-=m->0,此时M>;
当m=时,M-=m-<0,此时M<.
二、模拟预测
1.已知二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有公共点,则k的取值范围是(　　)
A.k<3
B.k<3,且k≠0
C.k≤3
D.k≤3,且k≠0
答案:D
2.函数y=与y=-kx2-k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　)
答案:D
3.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A,点B(-1,0),则
①二次函数的最大值为a+b+c;
②a-b+c<0;
③b2-4ac<0;
④当y>0时,-1其中正确的个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:B
4.小明在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -6 -4 -2 -2 -2 …
根据表格中的信息回答问题:该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时,y=　　　　　.
答案:-4
5.若y关于x的函数y=kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为　　　　　.
答案:k=0或k=-1
6.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,若将其向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后图象对应函数的解析式为　　　　　　　　　　.
答案:y=-x2-2x
7.如图①,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1,L2互称为“友好”抛物线,可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条.
(1)如图②,已知抛物线L3:y=2x2-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标;
(2)请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4对应函数的解析式,并指出L3与L4对应函数中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围;
(3)若抛物线y=a1(x-m)2+n的任意一条“友好”抛物线对应函数的解析式为y=a2(x-h)2+k,请写出a1与a2的关系式,并说明理由.
解:(1)∵抛物线L3:y=2x2-8x+4,
∴y=2(x-2)2-4.
∴顶点为(2,-4),对称轴为直线x=2,
设x=0,则y=4,
∴C(0,4).
∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为(4,4).
(2)∵以点D(4,4)为顶点的L3的“友好”抛物线L4还过点(2,-4),
∴L4对应函数的解析式为y=-2(x-4)2+4.
∴L3与L4对应函数中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2≤x≤4.
(3)a1=-a2,理由如下:
由题意可得,
由①+②,得(a1+a2)(m-h)2=0,
∴a1=-a2.
5

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