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单元检测四　几何初步知识与三角形
(时间:90分钟　满分:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题只有一个正确选项,每小题4分,共32分)
1.如图,已知AB∥CD,直线AC和BD相交于点E,若∠ABE=70°,∠ACD=40°,则∠AEB等于(　　)
A.50° B.60°
C.70° D.80°
答案:C
2.如果将长为6 cm,宽为5 cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是(　　)
A.8 cm B.5 cm
C.5.5 cm D.1 cm
答案:A
3. 若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC为公共边的“共边三角形”有(　　)
A.2对 B.3对 C.4对 D.6对
答案:B
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,过AC上一点作DE⊥AC,EF⊥BC,若∠BDE=140°,则∠DEF=(　　)
A.55° B.60°
C.65° D.70°
答案:C
5.如图,等腰三角形ABC的周长为21,底边BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为 (　　)
A.13 B.14
C.15 D.16
答案:A
6.如图,有一底角为35°的等腰三角形纸片,现过底边上一点,沿与底边垂直的方向将其剪开,分成三角形和四边形两部分,则四边形中,最大角的度数是(　　)
A.110° B.120°
C.125° D.130°
答案:C
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于点D,AB=13,CD=6,则AC+BC等于(　　)
A.5 B.5
C.13 D.9
答案:B
8.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,点P从点B出发,沿折线BC—CD方向移动,移动到点D停止.在△ABP形状的变化过程中,依次出现的特殊三角形是 (　　)
A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
答案:C
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
9.如图,AB∥CD,CE平分∠ACD,若∠1=25°,则∠2的度数是　　　　　.
答案:130°
10.如图,已知AB=AD,∠BAE=∠DAC,要使△ABC≌△ADE,可补充的条件是　　　　　　　　　　　　　　　　.(写出一个即可)
答案:AC=AE或∠C=∠E或∠B=∠D
11. 如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF.若AB=3,AC=2,且α+β=∠B,则EF=　　　　　.
答案:
12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E,F是AD的三等分点,若△ABC的面积为12 cm2,则图中阴影部分的面积是　　　　cm2.
答案:6
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3.点D是BC边上的一动点(不与点B,C重合),过点D作DE⊥BC交AB于点E,将∠B沿直线DE翻折,点B落在射线BC上的点F处.当△AEF为直角三角形时,BD的长为　　　　　.
答案:1或2
三、解:答题(本大题共4小题,共48分)
14.(本小题满分10分)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.
解:△AFC是等腰三角形.
理由如下:在△BAD与△BCE中,
∵∠B=∠B,∠BAD=∠BCE,BD=BE,∴△BAD≌△BCE.∴BA=BC.
∴∠BAC=∠BCA.∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE,即∠FAC=∠FCA.∴△AFC是等腰三角形.
15.(本小题满分12分)如图,一艘货船在灯塔C的正南方向,距离灯塔257海里的A处遇险,发出求救信号.一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上,同时位于A处的北偏东60°方向上的B处,救生船接到求救信号后,立即前往救援.求AB的长(结果取整数).
参考数据:tan 40°≈0.84,取1.73.
解:如图,过点B作BH⊥CA,垂足为H.根据题意,∠BAC=60°,∠BCA=40°,CA=257.∵在Rt△BAH中,tan∠BAH=,cos∠BAH=,∴BH=AH·tan 60°=AH,AB==2AH.
∵在Rt△BCH中,tan∠BCH=,
∴CH=.又CA=CH+AH,∴257=+AH,可得AH=.∴AB==168.
答:AB的长约为168海里.
16.(本小题满分12分)某货站传送货物的平面示意图如图.为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45° 改为30°.已知原传送带AB长为4 m.
(1)求新传送带AC的长度;
(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2 m的通道,试判断距离点B处 4 m的货物MNQP是否需要挪走,并说明理由.(说明:(1),(2)的计算结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.24,≈2.45)
解:(1)如图,过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D.
在Rt△ABD中,AD=ABsin 45°=4×=2(m).在Rt△ACD中,∵∠ACD=30°,∴AC=2AD=4≈5.6(m),即新传送带AC的长度约为5.6 m.
(2)货物MNQP需要挪走.
理由:在Rt△ABD中,BD=ABcos 45°=4×=2(m),在Rt△ACD中,CD=ACcos 30°=4=2(m),∴CB=CD-BD=2-2=2()≈2.1(m).
∵PC=PB-CB≈4-2.1=1.9(m),1.9<2,∴货物MNQP需要挪走.
17.(本小题满分14分)(2024新疆中考)
(1)已知△ABC和△ADE都是等边三角形.
①如图①,当点D在线段BC上时,连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由;
②如图②,当点D在线段BC的延长线上时,连接CE.请再次探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图③,等边△ABC中,AB=6,点E在AC上,CE=2.D是直线BC上的动点,连接DE,以DE为边在DE的右侧作等边△DEF,连接CF.当△CEF为直角三角形时,请直接写出BD的长.
图①
图②
图③
备用图
解:(1)①CE+CD=CA.理由如下:
∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),∴CE=BD.∴CE+CD=BD+CD=BC=CA.
②CA+CD=CE.理由如下:
∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),∴CE=BD,∴CA+CD=CB+CD=BD=CE.
(2)过E作EH∥AB,交BC于点H,
则△EHC为等边三角形.
①当点D在点H左侧时,如图④.
图④
图⑤
图⑥
易知∠DEH=∠FEC,EH=EC,
又∵ED=EF,∴△EDH≌△EFC(SAS),
∴∠ECF=∠EHD=120°.
此时△CEF不可能为直角三角形.
②当点D在点H右侧,且在线段CH上时,如图⑤.
易知EH=EC,∠HED=∠CEF,ED=EF,∴△EDH≌△EFC(SAS),
∴∠FCE=∠EHD=60°,∠FEC=∠DEH<∠HEC=60°,此时△CEF中只有∠EFC有可能为90°,当∠EFC=90°时,∠EDH=90°,∴ED⊥CH.
∵CH=CE=2,∴CD=CH=.
又AB=6,∴BC=6,∴BD=BC-CD=6-.
③当点D在点H右侧,且在线段HC的延长线上时,如图⑥.
此时△CEF中只能∠CEF=90°,
∵∠DEF=60°,
∴∠CED=30°,
∵∠ECH=60°,∴∠EDC=∠CED=30°,∴CD=CE=2,
∴BD=BC+CD=6+2.
综上所述,BD的长为6-或6+2.
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