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情境导入
相传2500多年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了等腰直角三角形三边的某种关系.我们也来观察一下图案,看看能从中发现什么数量关系.
图中三个正方形的面积有什么关系？
先独立思考,你能得到什么结论.
毕达哥拉斯(公元前572—前492年)古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.
第二十章 勾股定理
人教版八年级下册
20.1.1 验证勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
以等腰直角三角形直角边为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形面积.
探索新知
等腰直角三角形有上述性质,其他的直角三角形也有这个性质吗？
图中,每个小方格的面积均为1,如何算出图中正方形A、B、C的面积,看看能得出什么结论.
等腰直角三角形有上述性质,其他的直角三角形也有这个性质吗？
商高所指的面积关系可以用图形表示. 如图,红色直角三角形的三边长分别为 3,4,5,分别以这三边为边向外作正方形.
3
4
5
所得正方形的面积分别为
____，____，____.
9
16
25
面积之间的数量关系是:
9 + 16 = 25
这个直角三角形的三边满足：
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
如图,每个小方格的面积均为1,图中正方形 A1,
B1,C1 的面积之间有什么关系？A2,B2,C2呢？A3,B3,C3 呢？
C1，C2，C3 的面积你会求吗？
探索新知
以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去 4 个直角三角形的面积.
转化思想（补形法）
以格点为顶点,在方格纸中任意画一个直角三角形,类似地作出三个正方形,这三个正方形的面积有什么关系？由此,你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
勾
弦
股
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
图形语言：
符号语言：
∴
勾股定理
毕达哥拉斯定理
a
b
c
A
C
B
可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积. 由此我们猜想：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2 + b2 = c2 .
B
A
C
b
a
c
证明这个猜想的方法有很多,下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法.
a
b
c
黄实
朱实
朱实
朱实
这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
赵爽拼图证明法
a
b
c
b
a
b
c
a2 + b2
左边：
c2
右边：
a2 + b2 = c2
a
证法 1:
赵爽拼图证明法
a
b
c
b－a
证法 2:
这样就证明了前面的猜想. 它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理.
例1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
A
C
B
8
6
①
解：在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AB2 = AC2 + BC2 = 82 + 62 = 100，
所以 AB = 10.
已知两直角边长，求斜边长.
如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
17
15
D
E
F
②
已知斜边长与一直角边长，求另一直角边长.
在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，DE2 + EF2 = DF2，
从而 DE2 = DF2-EF2
= 172-152 = 64，
所以 DE = 8.
赵爽通过对图形的分割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神,是
我国古代数学的骄傲.
2002年在北京召开的国际数学家大会的会标,就是以此图为原型设计的.
随堂练习
1. 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c.
（1）已知 a = 6，c = 10，求 b；
（2）已知 a = 5，b = 12，求 c；
（3）已知 b = 15，c = 25，求 a.
c2 = a2 + b2
变式 1: a2 = c2－b2
变式 2: b2 = c2－a2
2. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形
都是正方形. 已知正方形 A，B，C，D 的边长分别是 12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积.
2. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形
都是正方形. 已知正方形 A，B，C，D 的边长分别是 12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积.
625.
3. 如图，在平面直角坐标系中有两点 A（5，0）和B（0，4）. 求这两点间的距离.
2.如图,以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,求△ABE及阴影部分的面积.
1.如图，在△ABC中,AD⊥BC,∠B=45°,∠C=30°,
AD=1,求△ABC的周长．
能力提高
课堂小结
这节课有什么收获呢？
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2 + b2 = c2 .
B
A
C
b
a
c
勾股定理
变式 1: a2 = c2－b2
变式 2: b2 = c2－a2

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