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21.3.2菱形
初中数学·人教版·八年级下
第二课时
菱形的判定
A
D
C
B
O
怎样判断一个四边形是菱形？
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：
∵四边形ABCD是平行四边形
且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
符号语言：
还有其他的方法吗
O
A
B
C
D
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
文字语言：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱 形 的 判 定 定 理 1
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
O
∟
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BA=BC.
已知：在 ABCD中，AC ⊥ BD.
求证： ABCD是菱形.
∴ ABCD是菱形.
文字语言：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
符号语言：
A
B
C
D
菱 形 的 判 定 定 理 2
A
B
C
D
O
题型1 利用对角线判定菱形
例 如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
5
4
3
在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 ( 　 )
A．∠ABC=90° B．AC⊥BD
C．AB=CD D．AB∥CD
B
四边形ABCD是平行四边形
A
B
C
D
O
例 如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
5
4
3
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵ OA=4，OB=3，AB=5，
即AC⊥BD.
∴ AB2=OA2+OB2.
∴△AOB是直角三角形，
∴四边形ABCD是菱形.
证明：
猜想：四条边都相等的四边形是菱形 .
知识点2 菱形的判定定理2
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD,
∴AB=CD，BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
符号语言：
菱 形 的 判 定 定 理 3
文字语言：四条边都相等的四边形是菱形.
文字语言 图形语言 符号语言
判定 方法1
判定 方法2
判定 方法3
菱形的判定
A
B
C
D
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
A
B
C
D
一组邻边相等的
平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
1.下列命题中正确的是( )
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
平行四边形
四条边相等
矩形
2.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A.AC⊥BD，AC与BD互相平分
B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD
D.AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
C
平行四边形
对角线垂直
A
B
C
D
3.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四边形为_______，其面积为_________.
24cm
菱形
A
B
C
D
5cm
3cm
4cm
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
H
G
F
E
D
C
B
A
例 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
题型2 利用边相等判断四边形是菱形
中位线
H
G
F
E
D
C
B
A
例 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
中位线
证明：连接AC, BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E , F , G , H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
拓展：之前我们学过四边形四边中点的连线是平行四边形。
那菱形四边中点的连线是什么图形呢？
总结：四边形四边中点的连线是平行四边形
矩形四边中点的连线是菱形
菱形四边中点的连线是矩形
5
5
5
5
4
4
3
3
如图，AC＝8，分别以A , C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A,B,C,D，连接BD交AC于点O．
(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由；
(2)求BD的长．
菱形
6
解：(1)四边形ABCD为菱形；
由作法,得AB＝AD＝CB＝CD＝5，
所以四边形ABCD为菱形；
(2)∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
∴BD＝2OB＝6．
如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
求证：四边形ADCE是菱形.
C
A
D
O
E
M
N
B
如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
求证：四边形ADCE是菱形.
C
A
D
O
E
M
N
B
证明：∵ MN是AC的垂直平分线,
∴AD=CD，OA=OC，AE=CE.
∵ CE∥AB，∠DAO=∠ECO.
∴ △ADO ≌ △CEO
∴ AD=CE .
∴AD=CD=CE=AE.
∴四边形ADCE是菱形.
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
知识点3 菱形性质和判定的综合应用
BC＝2DE
4
120°
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
BC＝2DE
4
120°
(1)证明：∵D , E分别是AB , AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC.
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
BC＝2DE
4
120°
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°.
∴△EBC是等边三角形.
过点E作EH⊥BC,
H

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