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21.2.1 平行四边形及其性质
课时1 行四边形的性质
第二十一章 四边形
1.理解并掌握平行四边形的概念及其性质.
2.根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.
小学我们已经认识了平行四边形，你能从下面的图片中找到这样的图形吗
对于三角形，我们学习了一般三角形后，又学习了等腰三角形和直角三角形.这是在一般图形的基础上研究特殊图形，我们在研究几何图形时常用这种思路.
对于四边形，从组成它的四条边的位置关系来看，如果它的两组对边分别平行，这个四边形就是平行四边形；如果它只有一组对边平行，这个四边形就是梯形（如图）.
四边形
梯形
平行四边形
两组对边分别平行
只有一组对边平行
我们知道，两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．平行四边形用“□ ”表示，如图，平行四边形 ABCD 记作“□ ABCD”．
A
B
C
D
注意：
1.表示平行四边形时一定要按顺（或逆）时针依次书写各顶点字母；
2.“ ”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用.
A
B
C
D
平行四边形的基本元素
(1)邻边：
(2)对边:
(3)邻角：
(4)对角：
(5)对角线：
AB与BC，BC与CD，CD与AD，AD与AB
AB与DC，AD与BC
∠A与∠B, ∠B与∠C，∠C与∠D，∠D与∠ A
∠A与∠C， ∠B与∠D
AC与BD.
平行四边形的定义具有双重属性.
(1)如果所给四边形的两组对边分别平行，那么它是平行四边形. 这是判定四边形是平行四边形的一种方法.
(2)定义给出了平行四边形的一个重要性质：两组对边分别平行.
几何语言：
∵AD∥BC，AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD∥BC,AB∥DC.
A
B
C
D
【探究1】根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？你能证明你的猜想吗？把你的结论和同学比较一下.
A
B
C
D
猜想：平行四边形的两组对边分别相等
平行四边形的两组对角分别相等.
证明：如图，连接 ABCD的对角线AC.
∵AD∥ BC，AB∥ CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA.
∴ AD=BC ，AB=CD，∠B=∠D.
∵∠1=∠2，∠3=∠4.
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
即∠BAD=∠DCB.
A
B
C
D
已知：四边形ABCD是平行四边形
求证：AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD， ∠B=∠D.
1
4
3
2
不添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定义证明其对角相等呢
A
B
C
D
已知：四边形ABCD是平行四边形
求证：∠A=∠C， ∠B=∠D.
证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°.
∴∠B=∠D.
同理∠A=∠C.
平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:
A
B
C
D
性质1：平行四边形的对边相等，
性质2：平行四边形的对角相等.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠C，∠B=∠D.
接下来研究平行四边形的对角线.
【探究2】如图，在 ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O.点O把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？
猜想：OA=OC，OB=OD.
已知：四边形ABCD是平行四边形
求证： OA=OC，OB=OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥ BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△OAD≌△OCB (ASA)，
∴OD=OB，OA=OC，
1
4
3
2
平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:
性质3：平行四边形的对角线互相平分.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.
例1 如图，在△ABC中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及 ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
∵ AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形.
根据勾股定理，AC===6.
∴OA=OC=AC=3，
S ABCD=BCAC=8×6=48.
定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
边
平行四边形
两组对边分别平行且相等
角
两组对角分别相等,邻角互补
对角线
对角线互相平分
性质
1.如图，在 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，下列式子中不一定成立的是（ ）
A.AB∥ CD B.OA=OC
C.∠ABC+∠BCD=180° D.AB=BC
D
2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC的周长为（　　）
A.26 B.34 C.40 D.52
B
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB ∥ CD
∴∠BAE=∠DCF.
又∵AE=CF，
∴ △ABE △CDF.
∴BE=DF.
3.如图，在 ABCD中,E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证：BE=DF.
A
D
B
C
E
F
解：∵□ ABCD 的对边相等，□ ABCD 的周长为 60 cm．
∴AB＋BC＝30 cm．
∵AB∶BC＝3∶2，即AB＝1.5BC．
则1.5BC＋BC＝30 ，解得 BC＝12 (cm)．
∴ AB＝1.5×12＝18 (cm)．
4.已知□ ABCD 的周长为 60 cm，两邻边 AB，BC 的长的比为 3∶2，求 AB 的长 ．
A
B
D
C

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