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(共21张PPT)
21.3.2 菱形
课时2 菱形的判定
1. 经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．
2.能熟练运用菱形的判定进行计算和证明.
问题：菱形的定义是什么？性质有哪些？
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
性质：1.具有平行四边形的一切性质.
2.特殊性质：①四条边都相等；②两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形是轴对称图形.
3.菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半.
一组邻边相等
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
A
B
D
C
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
思考：你还有其他的判定方法吗？
与研究平行四边形、矩形的判定类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看一看它们是否成立.
探究1：前面我们用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字. 在四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？对此你有什么猜想.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
且BD⊥AC. 求证：□ABCD是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴OA = OC .
∵AC ⊥ BD，∴BO垂直平分 AC，
∴AB = CB，
∴□ABCD 是菱形.
O
A
B
C
D
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定定理1：
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且BD⊥AC，
∴□ABCD是菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
O
A
B
C
D
例 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
A
B
C
D
F
E
O
1
2
分析：已知 AC ⊥ EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形 AFCE 是平行四边形. 由题意可知 AO = CO，还需证明 EO = FO .
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AE∥CF . ∴∠1 = ∠2 .
又∠AOE = ∠COF，AO = CO，
∴△AOE△COF . ∴EO = FO .
∴四边形 AFCE 是平行四边形.
又 AC ⊥ EF，
∴四边形 AFCE 是菱形.
例 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
A
B
C
D
F
E
O
1
2
1.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，则该条件可以是（ ）
A. AB=AC B. AC=BD
C. AC⊥BD D. AB⊥AC
C
探究2：用四根长度一样的木条，首尾顺次相接. 得到的四边形是菱形吗？请说明理由.
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA .
求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵AB = CD，DA = BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又 AB = BC，
∴ □ ABCD 是菱形.
A
B
C
D
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
菱形的判定定理2：
符号语言：
∵AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
四条边相等的四边形是菱形.
A
B
C
D
一题多解：如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
尝试利用“四条边相等的四边形是菱形”证明.
证明：∵EF 垂直平分 AC，
∴AE = EC，AF = FC . ∴∠1 =∠3.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AE∥BC，
∴∠1 = ∠2，∴∠2 = ∠3.
又OC = OC，∠EOC = ∠FOC = 90°，
∴△EOC△FOC（ASA）.
∴EC = FC = AE = AF .
∴四边形 AFCE 是菱形.
A
B
C
D
F
E
O
1
2
3
2.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点. 求证：四边形EFGH是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD．
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG．
∴△AHE△BFE△CFG△DHG(SAS)，
∴HE=FE=FG=HG，
∴四边形EFGH是菱形．
菱形的判定
定义法
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定定理
四条边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为(　　)
A．6
B．9
C．12
D．18
C
2.在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要在对角线BD上找两点M，N，使得四边形AMCN是菱形，现有如图所示的甲、乙两种方案，则正确的方案是(　　)
A．只有甲
B．只有乙
C．甲和乙
D．甲、乙都不是
C
解：这是一个菱形.
3.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和6 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.
B
C
D
A
O
AO=CO= AC=6，BO=DO= BD=3 .
在△ABO中，
S菱形ABCD= AC · BD=36.
∵AO2+BO2=(3)2+62=81，AB2=92=81，
∴△ABO是直角三角形，
∴AC⊥BD，∴ □ ABCD是菱形.
4.如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF 于点O，交BC于点E，连接EF.
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
A
B
E
C
D
F
O
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EBF=∠AFB．
∵BF 平分∠ABC，∴∠ABF=∠EBF，
∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF．
∵AE⊥BF，∴∠AOB=∠EOB=90°．
又BO=BO，∴△ABO△EBO(ASA)，∴AB=BE．∴BE=AF．
又BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形．
又AB=AF，∴四边形ABEF是菱形．
（2）若AE=6，BF=8，CE=3，求□ABCD的面积．
A
B
E
C
D
F
O
解:如图，过点F作FG⊥BC于点G．
G
∵四边形ABEF是菱形，AE=6，BF=8，
∴OE=AE=3，OB=BF=4.
在Rt△BOE中，BE=
∵S菱形ABEF=AE·BF=BE·FG，∴FG= .
∵BC=BE+CE=5+3=8，∴S□ABCD=BC·FG=8× = .

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