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21.3.3 正方形
课时1 正方形的性质
1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题．
仔细观察下列实际生活中的物品，你会发现里面都有正方形的形象．
正方形是我们熟悉的图形，回忆一下小学学过的正方形，它有什么性质？
问题：(1)矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
(2)菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
矩形
一组邻边
正方形
相等
菱形
正方形
一个角是
直角
符号语言：
∵平行四边形ABCD中，
AB=BC，∠A=90 ，
∴四边形ABCD是正方形.
正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
A
B
D
C
思考1：正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有. 填写下表，并猜想正方形的性质，尝试证明.
平行四边形 矩形特殊性质 菱形特殊性质
性质 边 对边平行且相等
角 对角相等，邻角互补
对角线 对角线互相平分
猜想1： 正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
猜想2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
四个角都是直角
对角线相等
四条边都相等
对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四条边都相等，四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形（矩形的定义），
且四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.
A
B
C
D
猜想1： 正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交与点O.
求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：在四边形ABCD 中，
∵正方形是矩形，
∴AO=BO=CO=DO.
又∵正方形是菱形，
∴AC⊥BD.
猜想2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
思考2：请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么它有几条对称轴？
是轴对称图形，有4条对称轴.
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
性质\图形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
边 对边平行且相等
四边相等
角 四个角都是直角
对角线 对角线相互平分
对角线相互垂直
对角线相等
每条对角线平分一组对角
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个便得到正方形．
a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；
c.一组邻边相等；d.一个角是直角．
顺次添加的条件：①a→c→d；②a→b→c；③b→d→c．则正确的添加顺序是(　　)
A．仅① B．①② C．①③ D．②③
C
例 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O .
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 是全等的等腰直角三角形.
A
B
D
C
O
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC = BD，AC ⊥ BD .
∴∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠AOD = 90°，
AO = BO = CO = DO .
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO
都是等腰直角三角形，并且
△ABO△BCO△CDO△DAO（SAS）.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O .
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 是全等的等腰直角三角形.
A
B
D
C
O
思考3：正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
有一个直角
一组邻边相等
菱形
平行四边形
矩形
正方形
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一个角是直角且有一组邻边相等
定义
性质
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
四个角都是直角，四条边都相等
对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
正方形的定义和性质
1. 正方形的边长是 3，则它的对角线的长是______．
2. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BD 上，且 BE = CD，则 ∠BEC 的度数为________．
67.5°
3
3.如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的点，过点P作PE⊥PB，PE交线段DC于点E．求证：PB=PE．
A
B
D
C
P
E
证明：如图,过点P分别作PG⊥BC于点G，PH⊥DC于点H，
∴∠PGB=∠PGC=∠PHE=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CA平分∠BCD，∠BCD=90°．
∴PG=PH，四边形PGCH是矩形，∴∠HPG=90°．
G
H
又PE⊥PB，∴∠BPE=90°．∴∠BPE－∠GPE=∠GPH－∠GPE，
即∠BPG=∠EPH ．
在△PGB 和△PHE中，∠PGB=∠PHE，PG=PH，∠BPG=∠EPH，
∴△PGB△PHE(ASA)，∴PB=PE．

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