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(共18张PPT)
21.3.3 正方形
课时2 正方形的判定
1.理解并掌握正方形的判定和推导过程．
2.能熟练运用正方形的判定进行计算和证明．
由正方形的定义可知，有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
平行四边形
正方形
一组邻边相等，
且有一个角是直角
除此之外，还有没有其他判定方法呢？
王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式， 于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示）， 让王芳看丝巾是否完全重合；见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合. 王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾.
你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？
探究1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形.
正方形
猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO.
又∵AC⊥DB，∴AB=BC.
∴四边形ABCD是正方形.
1. 如图，在矩形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交对角线 AC 于点E，EF⊥AB， EG⊥BC，垂足分别是F，G. 判断四边形 EFBG 的形状，并证明你的结论.
解：四边形EFBG是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°.
又 EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE = ∠BGE = 90°，
∴四边形 EFBG 是矩形．
∵BE 为∠ABC 的平分线，∴EF = EG，
∴矩形 EFBG 是正方形．
A
D
B
C
E
F
G
探究2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，看是不是正方形.
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
菱形
一个角是直角
对角线相等
已知：如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD， AC⊥DB.
∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=45°+45°=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
猜想：对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
2. 如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交于点O，点 D，
B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF，连接AD，AB， CD，
CB，∠ADO=45°．求证：四边形ABCD是正方形.
证明: ∵四边形 AECF 是菱形，
∴AC ⊥ EF，OA = OC，OE = OF．
∵DE=BF，∴OE + DE=OF + BF，即 DO=BO，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
又 AC ⊥ BD，∴四边形 ABCD 是菱形．
∵∠ADO=45°，∴∠ADC=2∠ADO=90°．
∴四边形 ABCD 是正方形．
正方形判定的几条途径：
先判定菱形
先判定矩形
平行四边形
正方形
①一组邻边相等且有一个直角
②对角线相等且垂直
正方形
①有一个直角；②对角线相等
矩形条件(二选一)
正方形
①一组邻边相等；②对角线垂直
菱形条件(二选一)
例 如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是正方形.
A
B
D
C
F
H
E
G
1
2
3
分析：要证明四边形 EFGH 是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG 全等得出.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB = BC = CD = DA .
又 AE = BF = CG = DH，∴EB = FC = GD = HA .
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH △BFE △CGF △DHG .
A
B
D
C
F
H
E
G
1
2
3
∴HE = EF = FG = GH .
∴四边形 EFGH 是菱形 .
∵△AEH △BFE，∴∠2 = ∠3.
又∠1 + ∠2 = 90°，∴∠1 + ∠3 = 90°.
∴∠HEF = 180°－(∠1 + ∠3) = 90°.
∴四边形 EFGH 是正方形 .
任意
四边形
平行
四边形
正方形
矩形
菱形
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角且一组邻边相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
1.如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．若AB＝AC，则当△ABC满足∠A＝______时，四边形DAEF是正方形．
90°
2.如图是用尺规过点P作直线l的垂线的
两种方法，对图中虚线段组成的四边形，
下列说法正确的是(　　)
A．若a＝b，则方法1中的四边形为正方形
B．若a⊥b，则方法1中的四边形为矩形
C．若m＝n，则方法2中的四边形为菱形
D．若m⊥n，则方法2中的四边形为正方形
C
3.如图，点E在正方形ABCD的边BC上,∠AEF=90°且AE=EF,过点F作FM⊥BC，垂足为M．
（1）求证：BE=CM；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，∴∠BAE+∠BEA=90°．
∵∠AEF=90°，∴∠BEA+∠FEM=90°，
∴∠BAE=∠FEM．
在△ABE与△EMF中，∠B=∠M=90°，∠BAE=∠FEM，AE=EF，
∴△ABE△EMF(AAS)，∴AB=EM．
∴BC=EM，∴BC－EC=EM－EC，即BE=CM．
（2）延长CD至点N，使得DN=BE，连接AN，FN. 求证：四边形AEFN是正方形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，AB=AD．
∵DN=BE，∴△ABE△ADN(SAS)，
∴AE=AN，∠BAE=∠DAN．
∵AE=EF，∴EF=AN．
∵∠EAN=∠DAN+∠EAD=∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，
∴∠EAN+∠AEF=180°，∴AN∥EF，
∴四边形AEFN是平行四边形．
∵AE=EF，∴四边形AEFN是菱形．
∵∠AEF=90°，∴四边形AEFN是正方形．

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