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21.3.3 正方形
课时2 正方形的判定
第二十一章 四边形
1.通过正方形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握正方形的判定定理．
2.能够运用正方形的判定解决简单的证明题和计算题.
【问题1】正方形的定义是什么？
有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
【问题2】正方形有哪些性质？
边 角 对角线
正方形的性质 两组对边平行，四条边都相等 对角相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
【思考】如何判断一个四边形是正方形？
通过上节课的关系图我们可以发现，正方形与矩形、平行四边形、菱形等四边形有不少的联系.
矩形
正方形
菱形
正方形
能否通过先判断四边形是否为这些图形，再通过正方形与他们的联系间接判断四边形是否为正方形？
【探究】分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论.
矩形
正方形
（1）满足怎样条件的矩形是正方形？
猜想1：一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
猜想1：一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直．
求证：矩形ABCD是正方形．
A
D
C
B
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
又AC⊥BD．
∴∠AOD＝∠AOB＝90°，
在△AOB和△AOD中，
OB＝OD，∠AOB＝∠AOD，OA＝OA，
∴△AOB△AOD，∴AB＝AD．
∴矩形ABCD是正方形．
对角线互相垂直的矩形是正方形
如图，在矩形ABCD中，AB＝AD．
求证：矩形ABCD是正方形．
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
AB＝CD，AD＝BC，
又AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
一组邻边相等的矩形是正方形
猜想1：一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形
（2）满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
有一个角是直角
对角线相等
正方形
猜想2：一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形
猜想2：一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形
如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°．
求证：菱形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∠A＝∠C，∠B＝∠D．
又∠A＝90°，∴∠C＝90°．
∵∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝90°．
∴菱形ABCD是正方形．
A
D
C
B
一个角是直角的菱形是正方形
如图，在菱形ABCD中，AC＝BD．
求证：菱形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
在△ABD和△BAC中，
AB＝BA，AD＝BC，BD＝AC，
∴△ABD△BAC，∴∠DAB＝∠CBA．
∵∠DAB＋∠CBA＝180°，
∴∠DAB＝∠CBA＝90°．
∴菱形ABCD是正方形．
对角线相等的菱形是正方形
猜想2：一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形
A
D
C
B
（3）满足怎样条件的平行四边形是正方形？
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
对角线相等且垂直的平行四边形是正方形
平行四边形
正方形
正方形的判定方法：
从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形．
对角线互相垂直的矩形是正方形．
从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形．
对角线相等的菱形是正方形．
从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
对角线相等且垂直的平行四边形是正方形．
例6 如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形．
【分析】要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由 △AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出.
A
B
C
D
H
G
F
E
2
1
3
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA.
又AE=BF=CG=DH，∴EB=FC=GD=HA.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH△BFE△CGF△DHG.
∴HE=EF=FG=GH. ∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH△BFE，∴∠2=∠3.
又∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°.
∴∠HEF=180(∠1+∠3)=90°,
∴四边形EFGH是正方形.
例6 如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形．
A
B
C
D
H
G
F
E
2
1
3
【思考】前面我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形. 那么顺次连接矩形、正方形各边中点又能得到怎样的特殊平行四边形？
B F C
G
E
任意四边形
A
H
D
A
H
D
G
E
B F C
矩形
A
H
D
G
E
B
F
C
正方形
平行四边形
菱形
正方形
从平行四边形出发
从矩形出发
从菱形出发
一组邻边相等+一个角是直角
对角线相等+对角线垂直
矩形+一组邻边相等
矩形+对角线互相垂直
菱形+有一个角是直角
菱形+对角线相等
顺次连接任意四边形各边中点→平行四边形
顺次连接矩形各边中点→________
顺次连接正方形各边中点→_________
正方形
的判定
顺次连接图形特点
菱形
正方形
1.满足下列条件的四边形是不是正方形？
(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形；
(2)对角线互相垂直的矩形；
(3)对角线相等的菱形；
(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形.
( )
( )
( )
( )
√
√
√
√
2.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
A
B
C
D
O
3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．
②③或①④
4.直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥BC．
求证：四边形CEDF是正方形．
A
B
C
D
E
F
∴DF＝DE，
∵CD平分∠ACB，
∴四边形CEDF为矩形．
又∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝90°，∠DFC＝90°．
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形CEDF是正方形．

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